最简洁明了的讲解包络定理

包络定理1.假设f(x,a)是x和a的一个函数。其中a解释为决定于所研究问题之外的一个参数（外生变量），x解释为我们所希望研究的变量（内生变量）。对于每一个不同的a值，都会有不同的x的昀优选择。我们再定义（昀优的）值函数，M(a)=f（x(a),a）。它告诉我们，对于不同的a值，f的昀优值是什么。在经济学中，我们通常对在参数a变化时昀优值如何变化感兴趣。于是，有了计算这一变化的简化方法。根椐定义，我们有()((),)Mafxaa对恒等式两边求微分，我们有()((),)()((),)dMafxaaxafxaadaxaa由于x(a)是能够使f昀大化的x值，我们知道((),)0fxaax把它代入上面的表达式，我们有()((),)dMafxaadaa记之为*()()((),)xxadMafxaadaa换句话说，值函数关于参数的全导数，等于在昀优点求导的偏导数。这就是包络定理的昀简洁形式。为什么会这样呢？当a变化时，有两个结果：a的变化直接影响f,a的变化影响x然后影响到f。但如果x是昀优选择，x的微小变化对f没有影响，所以间接效果消失了，只剩下直接效果。以利润昀大化问题为例，厂商在价格既定条件下的利润昀大化的优化问题为：(,)(,)MaxKLPQKLwLrK我们可以把利润函数看作是值函数，P,w和r是外生参数，则昀优利润对外生参数求导，就等于目标函数的偏导数在昀优选择处取值，则直接可以得到**Qp，**Lw，**Kr这就是说所谓的HotellingLemma。直接证明。(,)(,)MaxKLPQKLwLrKF.O.C0kPQrK0LPQwL得到*(,;)KKrwP和*(,;)LLrwP***=(,)((,,),(,,))(,,)(,,)KLPQKrwPLrwPrKrwPwLrwP********QKQLKLPPQrwKLPPPPP******()()KQLQPrPwQQKLPP（昀后一个等号是因为代入了一阶条件）*******()QKQLKLPPrLwwKwL******()()KQLQPrPwLLwKwL（昀后一个等号是因为代入了一阶条件）2.考虑如下形式的一个参数化的极大化问题121,2()max(,,)xxMagxxas.t.12(,,)0hxxa这一问题的拉格朗日函数为：1212(,,)(,,)LgxxahxxaF.O.C110ghxx220ghxx12(,,)0hxxa（1）这些条件决定昀优选择函数12((),())xaxa，该函数又决定极大值函数12()((),(),)Magxaxaa（2）包络定理给出了在极大化问题中值函数关于一个参数的导数的公式1212()()()()(,)(,,)(,,)xxaxxaxxadMaLxagxxahxxadaaaa求偏导数，特别注意它们是g和h在保持x1和x2于其昀优值不变的条件下对a的导数。包络定理的证明为一直接的计算。微分恒等式（2），得1212dMgdxgdxgdaxdaxdaa运用一阶条件（1）进行替代，得1212dMhdxhdxgdaxdaxdaa（3）现在看到，昀优选择函数必须恒满足约束12((),(),)0hxaxaa。对这一恒等式关于a求微分，我们有12120hdxhdxhxdaxdaa（4）将（4）代入（3），得dMhgdaaa这就是所求的结果。以效用极大化为例，12(,)MaxUuxx..st1122PxPxM121122(,)()MaxLuxxPxPxM直接套用包络定理，就得到：**LM，****111LuxPP，****222LuxPP证明：**LM，****111LuxPP，****222LuxPP******11221212111212212((,,),(,,))(,,)((,,)(,,))LuxPPMxPPMPPMPxPPMPxPPMM********1212***11221212()(1)LuxuxxxPxPxMPPMxMxMMMM*****12******12112212()()()xuxuPPpxpxMMxMxM昀后一个等式利用到了一阶条件。*********1212****1122112111121111()()LuuxuxxxPxPxMxPPPPxPxPPPP*****12********1211221111121()()()xuxuPPPxPxMxxPxPxP昀后一个等式利用到了一阶条件。同理可证：****222LuxPP以成本昀小化为例：,KLMinCrKwL.st(,)qqKL,,((,))KLMinrKwLqLKq直接套用包络定理，就得到：**Lq，***LCKrr和***LCLww以支出昀小化为例：11221,2xxMinePxPx..st12(,)Uxxu1122121,2,(,)xxMinLPxPxuxxu直接套用包络定理，就得到：121121(,;)(,;)eppuhppup和122122(,;)(,;)eppuhppup以上的结果就是所谓的ShephardLemma。