高考复习三视图

•常考查：①三视图的识别与还原问题；②以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体积等问题．主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是近几年高考的热点．三视图的识图与计算•【例1】►(2)已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是•()．•A.cm3•B.cm3•C．2000cm3•D．4000cm3【突破训练1】如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a＝________.解析由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为2的边上的高为a，∴V＝3×12×2×a＝33⇒a⇒3.答案3•2．(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()．•A．28＋6B．30＋6•C．56＋12D．60＋12答案：B[该三棱锥的直观图，如图所示，其中侧面PAC⊥底面ABC，PD⊥AC，AC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.故S△PAC＝12×5×4＝10；S△ABC＝12×5×4＝10；PC＝5，所以S△PBC＝12×4×5＝10；由于PB＝PD2＋BD2＝16＋25＝41，而AB＝52＋42＝41，故△BAP为等腰三角形，取底边AP的中点E，连接BE，则BE⊥PA，又AE＝12PA＝5，所以BE＝41－5＝6，所以S△PAB＝12×25×6＝65.所以所求80三棱锥的表面积为10＋10＋10＋65＝30＋65.]18.一个多面体的直观图,主视图(正前方观察),左视图(左侧正前方观察),俯视图(正上方观察),如下图所示.(1)探求AD与平面A1BCC1的位置关系并说明理由;(2)求此多面体的表面积和体积.【解析】从三视图可得,底面四边形ABCD和侧面四边形A1C1CB是矩形,可得BC⊥AB,BC⊥BA1,且AB∩BA1=B,BC⊥面ABA1,△A1AB是正三角形,∴三棱柱是底面为正三角形,侧棱垂直于底面的三棱柱.(1)∵底面四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.又∵BC⊂面A1BCC1,∴AD∥面A1BCC1.∴V=S底×h=34a2×a=34a3,S侧=C×h=3a×a=3a2,S表=S侧+2S底=3a2+2×34a2=(3+32)a2,所以此多面体的表面积和体积分别为(3+32)a2,34a3.题型二空间几何体的三视图例2一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()主视图侧视图A.B.C.D.解析：由三视图中的主、侧视图得到几何体的直观图如图所示．所以该几何体的俯视图为C.答案：C变式探究2三视图如图所示的几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台解析：由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形．故选B.答案：B变式训练1已知三棱柱的正(主)视图与俯视图如图,那么该三棱锥的侧(左)视图可能为().【解析】底面为正三角形,一侧棱垂直于底面.由虚线知可能有一侧棱看不见.由题知这个空间几何体的侧(左)视图的底面边长是,故其侧(左)视图只可能是选项B中的图形.【答案】B(2)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为().A.6B.6C.4D.4(2)如图所示,由三视图还原几何体为三棱锥D-ABC,其中AB=BC=4,AC=4,DB=DC=2,DA==6,故最长的棱的长度为DA=6.【答案】((2)B变式训练2(1)一个几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧(左)视图的面积为().A.32B.1C.52D.12.2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正(主)视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正(主)视图可以为().【答案】A二、填空题10.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底边长均为2,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,其正(主)视图是边长为2的正方形,俯视图是一个等边三角形,则该三棱柱的侧(左)视图的面积为.3.如图甲,将一个正三棱柱ABC-DEF截去一个三棱锥A-BCD,得到几何体,如图乙,则该几何体的正(主)视图是().【解析】观察几何体知其正(主)视图为C选项.【答案】C4.已知圆锥的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为4的等边三角形,则此圆锥的表面积是().A.4πB.8πC.8π3D.12π【解析】∵圆锥的半径r=2,母线l=4,∴表面积S=πr2+πrl=(22+2×4)π=12π.【答案】D5.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是().A.48cm3B.78cm3C.88cm3D.98cm33.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.4-2π3B.4-4π3C.6-4π3D.8-2π3【解析】几何体是一个长方体和半球组合而成,其体积V=2×2×1-12×43π×13=4-2π3,选A.【答案】A4.把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起,形成的三棱锥A-BCD的正(主)视图与俯视图如图所示,则其侧(左)视图的面积为().A.22B.12C.24D.14【解析】观察正(主)视图与俯视图,知三棱锥A-BCD的两个面ABD与CBD垂直,∴其侧(左)视图的面积为12×22×22=14.【答案】D5.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是().A.48cm3B.78cm3C.88cm3D.98cm3【解析】由三视图知,几何体是长方体截去了一个三棱锥A-BCD(如图),∴V=6×6×3-××3×5×4=98(cm3).【答案】D6.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体最长的一条侧棱长度是().A.5cmB.3cmC.cmD.cm【解析】画出几何体P-ABCD的直观图,则PA⊥平面ABCD,CD⊥平面PAD.易知该几何体最长的一条侧棱是PC.由三视图数据可得PA=2cm,AD=3cm,CD=4cm,∴PC=22+32+42=29cm,即该几何体最长的一条侧棱长度是29cm,选C.【答案】C二、填空题10.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底边长均为2,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,其正(主)视图是边长为2的正方形,俯视图是一个等边三角形,则该三棱柱的侧(左)视图的面积为.【解析】由所给三棱柱的直观图与正(主)视图、俯视图的特征及三视图作图原则,可知侧(左)视图是长和宽分别为2、3的矩形,故该三棱柱的侧(左)视图的面积为23.【答案】233.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是().A.16B.32C.48D.144【解析】由三视图得几何体的体积V=13×12×(2+6)×6×6=48.【答案】C9.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是().A.1883B.1843C.60D.1763【解析】根据三视图可得该几何体是一个棱长为4的正方形在左下方和右上方各截取了一个三棱锥,如图:因此该几何体的体积为43-2×13×12×2×2×2=1843.【答案】B2．(2014·安徽高考)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A．21＋3B．18＋3C．21D．18解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分，其表面积为S＝6×4－12×6＋2×34×(2)2＝21＋3.答案：A【变式训练】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为4×3×2+3×1×2+4×1×2=38;圆柱的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为2π×1×1=2π;圆柱的两个底面面积为2×π×12=2π.故该几何体的表面积为38+2π-2π=38.答案:38考点1几何体的表面积【典例1】(1)(2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.180B.200C.220D.240【规范解答】(1)选D.由三视图可知该几何体为底面为梯形的直四棱柱，如图，棱柱的底面为等腰梯形，高为10.等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，所以梯形的面积为由三视图知,梯形的腰为梯形的周长为8+2+5+5=20,所以四棱柱的表面积为20×2+20×10=240.28420,222345,【加固训练】1.(2014·郑州模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为()32，A.3B23C43D4．．．【解析】选D.依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因为菱形的面积为所以菱形的边长为1，因此该饰物的表面积为3,218(11)4.2＝2.某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是.【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5.所以其表面积为2××(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.答案：9212【典例2】(1)(2013·新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【规范解答】(1)选A.由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为(2)选A.设球的半径为R,由勾股定理可知，R2=(R－2)2+42,解得R=5，所以球的体积2124224168.233344500VR5cm.333【通关题组】1.(2013·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为.【解析】此棱锥底面是边长为3的正方形，高为1，所以体积为×32×1=3.答案：313【变式训练】(2015·合肥模拟)如图所示,某几何体的正视图和俯视图都是矩形,侧视图是平行四边形,则该几何体的表面积为()A.1533B.93C.3063D.183【解析】选C.图中所示的三视图对应的是一个横放的四棱柱,该四棱柱四个侧面都是矩形,上、下两个底面是平行四边形,其表面积为2×3×3+2×3×2+2×3×=30+6.33【互动探究】把本例题(2)中的三视图改为如下图形,求该几何体的表面积.【解析】由三视图知,这是一个底面是矩形的四棱锥,矩形的长和宽分别是6,2,四棱锥的高是4,所以四棱锥的表面积是2×6+2××2×5+6×4×+×6×2=34+6.121212553.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·四川高考)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是()(锥体体积公式:V=Sh,其中S为底面面积,h为高)A.3B.2C.D.1133【解析】选D.根据所给的侧视图和俯视图,该三棱锥的直观图如图所示.从俯视图可知,三棱锥的顶点A在底面内的投影O为边BD的中点,所以AO即为三棱锥的高,其体积为213V231.34【规律方法】直观图画法的关键与结论(1)关键:在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.”(2)结论:按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=S原图形.24【变式训练】如图,正方形OABC的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为.【解析】将直观图还原为平面图形,如图.可知还原后的图形中OB=2,AB=于是周长为2×3+2×1=8(cm).答案:8cm2221223,