(3)2015年(全国卷II)(含答案)高考理科数学

1CBADD1C1B1A12015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ(3)参考答案1．A【解析】由已知得21Bxx，故1,0AB，故选A．考点：集合的运算．2．B【解析】由已知得24(4)4aaii，所以240,44aa，解得0a，故选B．考点：复数的运算．3．D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．考点：正、负相关．4．B【解析】设等比数列公比为q，则2411121aaqaq，又因为13a，所以4260qq，解得22q，所以2357135()42aaaaaaq，故选B．考点：等比数列通项公式和性质．5．C【解析】由已知得2(2)1log43f，又2log121，所以22log121log62(log12)226f，故2(2)(log12)9ff，故选C．考点：分段函数．6．D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCDABCD中，截去四面体111AABD，如图所示，，设正方体棱长为a，则11133111326AABDVaa，故剩余几何体体积为3331566aaa，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D．考点：三视图．7．C2【解析】由已知得321143ABk，27341CBk，所以1ABCBkk，所以ABCB，即ABC为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25xy，令0x，得262y，所以46MN，故选C．考点：圆的方程．8．B【解析】程序在执行过程中，a，b的值依次为14a，18b；4b；10a；6a；2a；2b，此时2ab程序结束，输出a的值为2，故选B．考点：程序框图．9．C【解析】如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥OABC的体积最大，设球O的半径为R，此时2311136326OABCCAOBVVRRR，故6R，则球O的表面积为24144SR，故选C．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC10．B【解析】由已知得，当点P在BC边上运动时，即04x时，2tan4tanPAPBxx；当点P在CD边上运动时，即3,442xx时，2211(1)1(1)1tantanPAPBxx，当2x时，22PAPB；当点P在AD边上运动时，即34x时，2tan4tanPAPBxx，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x对称，且()()42ff，且轨迹非线型，故选B．考点：函数的图象和性质．311．D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)xyabab，如图所示，ABBM，0120ABM，过点M作MNx轴，垂足为N，在RtBMN中，BNa，3MNa，故点M的坐标为(2,3)Maa，代入双曲线方程得2222abac，即222ca，所以2e，故选D．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【解析】记函数()()fxgxx，则''2()()()xfxfxgxx，因为当0x时，'()()0xfxfx，故当0x时，'()0gx，所以()gx在(0,)单调递减；又因为函数()()fxxR是奇函数，故函数()gx是偶函数，所以()gx在(,0)单调递减，且(1)(1)0gg．当01x时，()0gx，则()0fx；当1x时，()0gx，则()0fx，综上所述，使得()0fx成立的x的取值范围是(,1)(0,1)，故选A．考点：导数的应用、函数的图象与性质．13．12【解析】因为向量ab与2ab平行，所以2abkab（），则12,kk，所以12．考点：向量共线．14．32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为yxz，当z取到最大时，直线yxz的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D，则zxy的最大值为32．考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO415．3【解析】试题分析：由已知得4234(1)1464xxxxx，故4()(1)axx的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，34ax，x，36x，5x，其系数之和为441+6+1=32aa，解得3a．考点：二项式定理．16．1n【解析】由已知得111nnnnnaSSSS，两边同时除以1nnSS，得1111nnSS，故数列1nS是以1为首项，1为公差的等差数列，则11(1)nSnn，所以1nSn．考点：等差数列和递推关系．17．【解析】（Ⅰ）1sin2ABDSABADBAD，1sin2ADCSACADCAD，因为2ABDADCSS，BADCAD，所以2ABAC．由正弦定理可得sin1sin2BACCAB．（Ⅱ）因为::ABDADCSSBDDC，所以2BD．在ABD和ADC中，由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB，2222cosACADDCADDCADC．222222326ABACADBDDC．由（Ⅰ）知2ABAC，所以1AC．18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下5通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记1AC表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”；2AC表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；1BC表示事件：“B地区用户满意度等级为不满意”；2BC表示事件：“B地区用户满意度等级为满意”．则1AC与1BC独立，2AC与2BC独立，1BC与2BC互斥，1122BABACCCCC．1122()()BABAPCPCCCC1122()()BABAPCCPCC1122()()()()BABAPCPCPCPC．由所给数据得1AC，2AC，1BC，2BC发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()APC16=20，2()=APC420，1()=BPC1020，2()BPC8=20，故101684()=+0.4820202020PC．19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF如图：（Ⅱ）作EMAB，垂足为M，则14AMAE，18EMAA，因为EHGF为正方形，所以10EHEFBC．于是226MHEHEM，所以10AH．以D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则(10,0,0)A，(10,10,0)H，(10,4,8)E，(0,4,8)F，(10,0,0)FE，(0,6,8)HE．设(,,)nxyz是平面EHGF的法向量，则0,0,nFEnHE即100,680,xyz所以可取(0,4,3)n．又(10,4,8)AF，故45cos,15nAFnAFnAF．所以直线AF与平面所成角的正弦值为4515．A1AB1BD1DC1CFEHGM620．【解析】（Ⅰ）设直线:lykxb(0,0)kb，11(,)Axy，22(,)Bxy，(,)MMMxy．将ykxb代入2229xym得2222(9)20kxkbxbm，故12229Mxxkbxk，299MMbykxbk．于是直线OM的斜率9MOMMykxk，即9OMkk．所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点(,)3mm，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是0k，3k．由（Ⅰ）得OM的方程为9yxk．设点P的横坐标为Px．由2229,9,yxkxym得2222981Pkmxk，即239Pkmxk．将点(,)3mm的坐标代入直线l的方程得(3)3mkb，因此2(3)3(9)Mmkkxk．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即2PMxx．于是239kmk2(3)23(9)mkkk．解得147k，247k．因为0,3iikk，1i，2，所以当l的斜率为47或47时，四边形OAPB为平行四边形．21．【解析】（Ⅰ）'()(e1)2mxfxmx．若0m，则当(,0)x时，e10mx，'()0fx；当(0,)x时，e10mx，'()0fx．若0m，则当(,0)x时，e10mx，'()0fx；当(0,)x时，e10mx，'()0fx．所以，()fx在(,0)单调递减，在(0,)单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m，()fx在[1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故()fx在70x处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]xx，12()()e1fxfx的充要条件是：(1)(0)e1,(1)(0)e1,ffff即ee1,ee1,mmmm①，设函数()ee1tgtt，则'()e1tgt．当0t时，'()0gt；当0t时，'()0gt．故()gt在(,0)单调递减，在(0,)单调递增．又(1)0g，1(1)e2e0g，故当[1,1]t时，()0gt．当[1,1]m时，()0gm，()0gm，即①式成立．当1m时，由()gt的单调性，()0gm，即ee1mm；当1m时，()0gm，即ee1mm．综上，m的取值范围是[1,1]．22．【解析】（Ⅰ）由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线．又因为O分别与AB、AC相切于E、F两点，所以AEAF，故ADEF．从而//EFBC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AEAF,ADEF，故AD是EF的垂直平分线，又EF是O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OEAE．由AG等于O的半径得2AOOE，所以030OAE．所以ABC和AEF都是等边三角形．因为23AE，所以4AO，2OE．因为2OMOE，132DMMN，所以1OD．于是5AD，1033AB．所以四边形EBCF的面积221103313163()(23)232223．23．【解析】（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220xyy，曲线3C的直角坐标方程为22230xyx．联立222220,230,xyyxyx解得0,0,xy或3,23,2xy所以2C与1C交8点的直角坐标为(0,0)和33(,)22．（Ⅱ）曲线1C的极坐标方程为(,0)R，其中0．因此A得到极坐标为(2sin,)，B的极坐标为(23cos,)．所以2sin23cosAB4in()3s，当56时，AB取得最大值，最大值为4．24．【解析】（Ⅰ）因为2()2ababab，2()2cdcdcd，由题设abcd，abcd，得22()()abcd．因此abcd．（Ⅱ）（ⅰ）若abcd，则22()()abcd．即22()4()4ababcdcd．因为abcd，所以abcd，由（Ⅰ）得abcd．（ⅱ）若abcd，则22()()abcd，即2abab2cdcd．因为abcd，所以abcd，