第7章-拱的面内稳定

第7章拱的面内稳定任课教师：强士中卫星第7章拱的面内稳定基本概念拱的面内屈曲拱的计算长度压弯拱的稳定计算拱的极限承载力7.1基本概念拱面内稳定理论1884年，Levy推导出均匀受压圆环屈曲临界荷载；1908年，Hurlbrink推导出均匀受压两铰圆弧拱临界荷载；1910年，Timoshenko得到均匀受压两铰圆弧拱一致的结果；奠定了拱的平面屈曲理论基础1918年，Nicolai得到均匀受压无铰圆弧拱临界荷载；1929年，Dinnik讨论了变截面圆弧拱稳定问题；1935年，Timoshenko讨论均布竖向荷载两铰扁圆拱“跳跃”问题；1934～1940年，欧洲学者相继讨论竖向均布荷载抛物线拱的面内屈曲问题；标志者拱的面内屈曲理论逐步走向实际应用1948年，Chatterjee首先建立了拱结构极限承载力分析的挠度理论；随着计算机的日益发展和广泛应用，非线性有限元分析方法不断发展，综合考虑结构几何和材料非线性的分析方法，逐渐运用到拱结构极限承载力的计算中，取得了与试验值较吻合的结果。拱的稳定研究已从压屈理论进入了压溃理论拱的面内稳定形式反对称失稳或对称失稳；分支点失稳和极指值点失稳；线弹性稳定和弹塑性稳定；大挠度和小挠度问题。拱的两类稳定问题第一类稳定问题：理想弹性纯压拱，分支点失稳，特征值问题。第二类稳定问题：实际中的拱，极值点失稳，非线性分析方法。无铰拱两铰拱三铰拱f/l≥0.2f/l≤0.27.2拱的面内屈曲7.2.1圆拱的屈曲如图所示圆弧拱，微段ds在径向荷载pr切向分布荷载ps及内力M、N、Q作用，处于平衡状态。平衡方程(1)(2)几何关系转角：曲率：(3)000srdNQdpdsdQNdpdsdMQdssrdNdQpdsdsdQdNpdsdsdMQds22srdNdMdpdsdsdsdMdNpdsdsdvwdsR22dddvwdvdwdsdsdsRdsdsR2221dvdwRdd拱轴单位伸长：(4)拱轴无压缩，，所以：(5)内力与变形关系(6)将式(6)代入式(2)，得:(7)dwddwvvdsdsdsR0dwvdsR22xxdvdwMEIEIdsRdsdwvNEAEAdsRxrxsEAEIvwRwvRpREIEAwvRvwRpR(4)xrxsEAEIvwRwvRpREIEAwvRvwRpR由式(7)，可得：整理得：(8)径向均布荷载作用下圆弧拱的屈曲临界力可通过式(8)确定比较压弯杆，所以：(9)将式(9)代入式(8)，得：即：(10)2srxxpdpEIEIvwRvwRRdsR(5)242srxpdpEIvvRvRdsRrddpqNqqRdsds(5)2422xEIvvRvRqRqRvwRqRvvR(5)24210xxqRqvvvREIRREI(4)EIyNyq两铰圆拱径向位移：式中，代入式(10)，得：可简化为：即：所以：(11)由边界条件，有：所以：，即：由式(11)，可得：(12)10sinmsvfs02sR5324000210xxmmqRmqssREIsRREI422400210xxmmqRqssREIRREI222200110xmmqRsRsREI2201xmqRsREI0000110000011sincos0sssABsfmsmswwvdsfdsRRsRmscos1m2222222320214114xxxcrEIEIEIqsRRRRRRmin2m更实用的方法由式(6)，可得：(13)所以：(14)变为：可写为：式中，(15)解之得：由边界条件：可得：所以：代入式(15)，得：即：222xdvvMdsREI21xxxMNvqRvvvREIEIEI210xqRvvREI23210xdvqRvdEI2220dvnvd321xqRnEIsincosvAnBn0,02,0vv0sin20BAn22n3221xqREI2321xcrEIqR临界轴力：(16)式中，K1为临界荷载系数（稳定系数）参照中心受压杆临界力公式，式(16)，可写为：(17)式中：(18)s0为拱的计算长度或：式中：(19)β为拱度影响系数212221xxcrcrEIEINqRKRR2121K2222222222011xxxcrEIEIEINRRs0222112RsssR2222xcrEINs2112sR无铰拱拱任意截面上增添了弯矩：拱截面上总弯矩为：(20)将式(20)代入式(13)，得：(21)式中：，解之得：(22)边界条件：，；，；002sinsinxMMMl0sinsinMqRvM222sindvnvcd321qRnEI20sinMRcEI2sincossin1cvAnBnn00v0v0v所以：即：(23)系数行列式为零，可得稳定方程式：(24)由上式可求得无铰拱临界荷载：(25)稳定系数K2与拱的开角有关。220sinsin01coscos01BcAnncAnn22202sin101costan1RnEInAMRnnEIntantannn22331crEIEIqnKRR22α30°60°90°120°150°180°n17.1768.6215.7824.3743.5423.000三铰拱三铰拱对称屈曲临界荷载：(26)33crEIqKR230°60°90°120°150°180°K3108.0027.0012.006.754.323.0007.2.2抛物线拱的屈曲竖向均布荷载作用的抛物线拱仅受轴向力作用；抛物线拱的曲率、轴向力沿拱轴变化；抛物线拱的临界荷载一般通过数值法计算。抛物线拱的临界荷载可按下式计算：3crEIqKl7.3拱的计算长度参照中心压杆临界荷载计算公式，拱的临界压力可写为：(27)式中，，S0为拱的计算长度，S为拱轴线长度之半；为拱的计算长度系数。一般规律：(1)拱的计算长度系数主要取决于拱的类型及矢跨比；(2)拱的计算长度系数与相同边界条件直杆的计算长度系数相接近。220xcrEINS0SSf/la0.10.20.30.40.5两铰拱圆弧线1.011.071.061.111.15抛物线1.021.041.101.121.15悬链线1.011.041.101.171.24无铰拱圆弧线0.700.700.700.710.71抛物线0.700.690.700.710.72悬链线0.700.690.680.720.73三铰拱圆弧线1.141.151.151.151.15抛物线1.141.111.101.121.15我国公路桥规规定：f/l0.3以下的拱，无铰拱计算长度0.7×0.5S＝0.35S，可偏安全地取0.36S；同理，两铰拱取0.54S；三铰拱取0.58S，S为拱轴线长度。我国铁路桥规中，对于长细比不大，f/l在0.3～0.4以下的拱，其计算长度，与公路桥规一致。对于矢跨比小于0.4，长细比不大的拱，美国AASHTO规范按不同的矢跨比给出了拱的计算长度。式中lu取拱肋长度的一半；K为按下表采用。0ulKl矢跨比三铰拱两铰拱无铰拱0.1～0.21.161.040.70.2~0.31.131.100.70.3~0.41.161.160.727.4压弯拱的稳定计算7.4.1拱的挠度理论基本假定：平截面假定；弹性中心位置不变。平衡方程：(28)可参看贺栓海《拱桥挠度理论》2221tgsectgxxxdudvdyNdxdxdxEAdvMdNdxEIdxEAdvNtgdxEA7.4.2弯矩增大系数法无铰拱：一端固结一端铰支的压弯杆两铰拱：两端铰支的压弯杆三铰拱：两端铰支的压弯杆(1)两铰拱和三铰拱四分点弯矩：(29)2max228sec182qlklMkl2210.03/8sec121/crcrNNklklNN(2)无铰拱任意截面弯矩：固端(拱脚)弯矩：(30)跨中(四分点)弯矩：(31)3l/8(3l/16)弯矩：(32)qNN222cossin12sincos1cossinqklklkllkMEIwkxkxkklklkl22228tan(/2)/210.382/881//tancrcrklklNNqlqlMNNklklkl2222223216cossin810.014/162216cossin161/crcrklklklNNqlqlklMklklklklklNN222210.121/cossin12339sincos1cossin881281/crcrNNqklklkllkklklqlMkklklklNN7.4.3拱桥的屈曲刚性拱柔性梁：柔性拱刚性梁：扁拱：两铰拱三铰拱13acrEIqKl21110.950.7abEIffKKllEI230.950.7bcrEIffqlll224abcrEIEIHl229.8abcrEIEIHl7.5拱的极限承载力随着计算机和试验技术的发展，非线性稳定理论和非线性稳定分析的数值方法都得到了很大的发展;在拱桥稳定性有限元分析中，基于经典弹性理论，则是属于第一类稳定分析，基于非线性挠度理论，则属于第二类稳定分析;综合考虑结构几何和材料非线性的分析方法，运用到拱桥结构极限承载力的计算中，取得了与试验值较吻合的结果。7.5.1梁单元切线刚度矩阵根据虚功原理：(33)单元位移函数：(34)其中：单元应变：(35)将式(34)代入式(35)，微分得：(36)式中：eTTeTdFddVdReuvHxuAHxv2310000010uvHxxHxxxx222232100000010000001000110000323100212100Allllllllll222211220dududv