初三数学圆经典终极讲义

1一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接圆：2锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内d＜r；【典型例题】例1在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。例2．已知，如图，CD是直径，84EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。例3⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。例4在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？MABCDOEBAC3ACBD例5如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,30CEA，求CD的长．例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3,2，求BAC的度数．例7.如图，已知在ABC中，90A，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长．例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝16cm，拱高CD＝4cm，那么拱形的半径是＿＿m。.思考题如图所示,已知⊙O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.ABDCO·ECBDA·ABDCEPFO4二．垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤．②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．垂径定理及推论1中的三条可概括为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1如图AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且CNMAMN．求证：AB=CD．例2已知，不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。求证：CE=DF．ABDCO·NM5l问题一图1OHFEDCBAl问题一图2OHFEDCBAl问题一图3OHFEDCBA例3如图所示，⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。（1）求证：AE＝BF（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例4如图，在⊙O内，弦CD与直径AB交成045角，若弦CD交直径AB于点P，且⊙O半径为1，试问：22PDPC是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.OABCDEFmABCDPO。.6例5.如图所示，在⊙O中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：ME=NF.例6.（思考题）如图，1o与2o交于点A，B，过A的直线分别交1o，2o于M,N，C为MN的中点，P为21OO的中点，求证：PA=PC.三．圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg:判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。·OABDCEFMN1OAB2OMNCP7圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．Eg:判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg:如下三图，请证明。13.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．814.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：ACO=BCD．（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的半径。16.已知：如图等边ABC△内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断PDC△是什么三角形？并说明理由．（2）若AP不过圆心O，如图②，PDC△又是什么三角形？为什么？四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理EDBAOCACBDEAOCDPB图①AOCDPB图②9【考点速览】圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABEFOOPOCO1O2ODO10例2、已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。求证：PA=PC。例3．如图所示，在ABC中，∠A=72，⊙O截ABC的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE．求证：AC=AE．例5．如图所示，已知在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC=120，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E．求证：ODE是等边三角形．·OABCO·CAEBD·OADEBC11ABCODE例6.如图所示，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E。（1）试说明△ODE的形状；（2）如图2，若∠A=60º，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。例7弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证：△BEF是等边三角形；（2）BA=4，CG=2，求BF的长.例8已知：如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。ABCODE·AOBEDCGF12六．会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0dr相离1d=r相切2dr相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言∵OA⊥l于A，OA为半径∴l为⊙O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）lAO131、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若AB=3,BC=4,DE=DC，求⊙O的半径．2.如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使BEDC．（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；3.如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．（1）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．（2）在（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求DE的长；ACBDEO·FEODCBACAOBED144.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=21AB；5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点,交AD于点G，交AB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数6.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，（1）若∠AED＝45º．试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．（2）若∠AED=60º,AD=4，求⊙O半径。ABCDEOBACDEGOF15FADEBCO·7.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.8.如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是AB⌒的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F（1）求证：EF⊙是O的切线；（2）若AB＝8，EB＝2，求⊙O的半径．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线。ODCBA1620.已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．（1）求证：AD＝DC；（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，求⊙O的半径．17ABCDEFOFOEDCBA（20题图）20．在Rt△AFD中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，联结AC，将△AFC沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上.（1）判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.（2）若OB=BD=2,求CE的长．20．如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，18NMOFECBA联结EB交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE；（2）若DE=5，AB=5，求AE的长．20.如图，AB是O的直径，30BAC，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且.ECFE（1）证明CF是O的切线(2)设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长.如图，ABBCCD分别与圆O切于EFG且AB//CD，连接OBOC，延长CO交圆O于点M，过点M作MN//OB交CD于N求证MN