伯努利方程及其应用

第六章伯努利方程及其应用在第五章，我们建立了流体力学微分形式的基本方程组，并通过引入了无粘流假设，完全气体假设，建立了理想流体（或理想气体）的动力学基本方程组，这一方程组虽解决了封闭性问题，并使未知数数量及方程的复杂程度得到了很大简化，但由于方程组仍是非线性的，以至于还是无法得到一般形式的解，或精确积分求解的一般方法。在第四章，我们通过对一段流管的能量方程进行分析，在引入五项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上，通过对上一章中的欧拉方程进行积分，同样可以得到著名的伯努利方程，不过在积分过程中同样要引入相应的假设和限制条件。柏努利方程的获得对流体力学的发展产生了重要的影响，使得这一方程在以后的一百多年里，直到今天，都是流体力学中应用最广（不论在计算还是在理论分析上）的方程，本章将对其理论和应用进行介绍。第一节伯努利定理在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。一、压力函数分析在流体静力学中，对于密度仅是压力的函数的正压流体，引入了压力函数：我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长l表示,而dl表示曲线弧的微元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长l的函数，并且在不同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：联立以上两式消去l，即可将ρ表示为p的函数，注意，此时并不要求流场是正压流场。代入压力函数定义式：可知L在曲线上，压力函数沿l的变化率为：一般情况下，曲线L上的函数关系是未知的，但是当流场是正压流场时，这时ρ仅是p的函数（根据定义），与所取曲线就无关了。所以只要已知，压力函数就可以积分。(,)pL()p常见的正压场有：1、不可压缩流场：2、完全气体等温流场：3、完全气体的绝热等熵流场：在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到，也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又可以视为绝热流场。二、沿流线和涡线成立的伯努利积分由兰姆方程(引入理想流体假设1)：假设流动为定常(2)，质量力有势(3)，兰姆方程为：0tfU左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线(切线)上投影，有：21()()2lVVpUlll注意压力函数的微分关系，代入上式有：这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲线取为流线或涡线，则曲线上任意点的切线方向与向量垂直，因而有：（沿流线或涡线假设4）V于是：积分：这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分，他表明：在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流体的动能、压力能和势能之和是一个常数。注意上式中的积分常数C(L)与所取的流线或涡线是有关的。不同的流线或涡线会有不同的值，C(L)会构成等值面。这个等值面是由相交的流线或涡线决定的。如果流场是正压流场，则压力函数与所取的曲线无关，上式为：三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分1、当质量力为重力时，质量力势为：2、当流体不可压时，压力函数为：3、代入伯努利积分，有：或者：Ugzconstpconst2()2VpgzCL这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不可压缩的理想流体，定常流动，质量力仅为重力，沿流线或涡线成立。四、伯努利积分与所取曲线无关的情况在正压流场中，如果恒有。则以上伯努利积分与所取曲线无关。或者说在全流场中的积分为同一常数C，等式两边的1点和2点可以不必在同一流线或涡线上。0V的情况有三种：1、流体静止，其结果为静力学基本方程，对动力学无意义。2、流动无旋。3、通常不可能，只有在一些理想的特殊流动中存在。0V0V0V由此我们知道，无旋流动的伯努利积分，其常数全场相等，也就是说，此时我们应用伯努利方程不必在意1点和2点是不是在同一条流线或涡线上。面对流场是否无旋的判断，上一章我们在讲到弗里德曼方程时有结论：理想流体，在质量力有势，流场正压时，流场如一开始无旋，则永远无旋，这有助于我们做出判断。五、总结1、伯努利方程的形式221112221122pVgzpVgzI、物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。II、物理意义：单位质量流体的能量守恒。（焓表示）2211221222VpVpgzgzIII、物理意义：总水头高度的守恒。（水头表示）其中第I、II式多用于气体流动，III式多用于液体流动分析。2211221222VpVpzzgggg2、应用条件理想流体，定常流动，不可压缩流体（正压流体），质量力为重力（质量力有势），沿流线或涡线成立。如为无旋流动，则全场成立。3、应用拓展柏努利方程由理想流体流动分析得出，说明流动过程中的机械能守恒。如果流体不是理想流体，则流动必有旋（粘性产生旋涡），这时沿流线方向的总机械能将不会守恒。因为粘性效应，旋涡流动将把一部分机械能耗散为热能（不可逆），这时沿流线的能量守恒应该是机械能+耗散能的守恒。机械能的损失不会体现在动能上，因为速度的关系还要服从连续方程的规定；一般也不会体现在势能上，因为势能的关系由位置确定。所以更多的是体现在压力（静压头）上。12lp12li12lh其中，、、，分别代表流体从１点流到２点时，损失的总压力、总焓和总水头。很显然，上面三个方程不是独立的。4、关于不可压缩流体的判断液体肯定是不可压缩的，气体从物性上来讲是可压缩的，但是，如果在流动过程中，忽略位置水头的变化（一般所占比重小），并将过程看作是等温的，，密度的变化量取决于压力的变化量，考虑一个绕流问题，流场中速度变化量最大的两点：滞止点和远前方，有1122pp2212121122pVpppV设：534310,1/,100/1105102aaapPkgmVmspP此时压力的相对变化量：，故密度的相对变化量：0.05app0.055%我们知道音速：340/ams因而：1000.2940.3340VMa说明当Ｍ＜0.3时，流速的变化导至密度的变化量小于5%，流体可看作不可压缩的流体。有的定为M＝0.25，M＝0.2，要求更严。而在地面工程中，绝大多数情况M都小于0.3，喷管流例外，当M大于0.2或0.3以后，我们就不能直接应用以上方程计算气体流动了。第二节伯努利方程的应用在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面；２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联立，以求解两个未知数。一、容器小孔出流问题密闭容器，Dd，即小孔足够小，设流体为理想流体，求小孔的出流速度。有流线如图，知柏努利方程沿流线总焓不变，而每一根流线的起始点机械能相等，即可得结论，柏努利方程积分全场为同一个常数，亦可得出流动是无旋的，为此，设液面为1，出口为2，写出方程：2200020022()2aaVppVgzgzppVgzz又：①如容器不密封而与大气相通，有p0=pa上式2Vgh（托里拆利公式）②如容器内为气体，则2gh为一般是小量，可忽略：02()appV注意此时计算结果中V最大不能超过100m/s，否则压缩性不能忽略。02()2appVgh③如图，求Ｂ点的压力，由连续方程：12BVgzV,aBBBaBppgzppgz即PＢ低于Pa，当ZＢ=0时PＢ=Pa上式也说明，B点的高度不能无限制的升高。如果B点的高度过高导致时，在B点就会出现负的绝对压力，对于流体这是不可能的。实际上，当B点压力小于该点流体在该温度下的饱和压力时，流体就会在该点发生汽化(亦称空化)。Bagzp④理想流体柏努利方程的几何意义柏努利方程第三式每一项的量纲与长度相同，都表示某一高度。如图：：表示研究点相对某一基准面的几何高度，称位置水头。：表示研究点处压强大小的高度，表示与该点相对压强相当的液柱高度，称压强水头。：称测压管水头。：表示研究点处速度大小的高度，称速度水头。：称总水头。那么，例题中③所示情况怎样标出他的各种水头呢？pg22Vgzzpg22zpgVg＋例题中③所示情况的各种水头大小的变化如图所示：二、溢水道问题今有理想不可压重力流体流过一垂直墙，墙顶水层的厚度较水库水深为无穷小量，试确定流体自由表面处的速度。假定水库的容积足够大，故可以认为远离溢水口处的水面高度是不变的，并且流动是定常的。流体自由表面上的压力等于大气压力pa，溢口处水层厚度较水库深度为小量，故远离溢口处的流速近似为V=0，自由表面是流线。可写出沿流线的伯努利方程:212aappVgzgz可得自由表面上z处的流速关系:12()2Vgzzgh上式在形式上与小孔出流公式一样。由上式可见，随着z的减小或落差h的增大，速度V增大，由连续方程知其流管宽度应减小。同时，由于在溢口B处流速VB已不能忽略，故此时的液面已低于远处的z1，也就是说，水库水面的高度在靠近溢口处时就已开始降低了。三、汽油机化油器的流动1、风道进口流动问题。如图所示一直径为D的圆柱形通风管，假设B截面的速度分布均匀，空气密度为air，并已知通风流量Q，求B点的压力pB。设A点远离进口，则VA=0，pA=paB点的流速为：写出A、B两点间的柏努力方程：所以：2、化油器的流动。化油器结构如图，已知D、d、pB，以及油箱油面到汽化器轴线的垂直高度h，油面压力为pa，求将汽油吸入汽化器的空气流量。设空气与汽油的密度分别为：,airoil欲使汽油被吸入汽化器，C截面必须要有一定的真空度，其最小真空度所对应的油柱高度应为h。即：截面C处的真空度又与流过该截面的空气流量有关。写出B与C截面的伯努利方程：连续方程：(a)(b)(c)由(a)：由(b)：222411()[1()]22CBairCBBairCdppVVpVD24CCQQVAd另外，由2248airBaQppD224242814()[1()]2airCaairQQdppDdD(d)(e)令(d)式与(e)式相等，可得：224242488[1()]airairoilQQdghDdD242822oiloilairairddQghgh最终得：同样的问题，可用于喷雾器流量的计算。Caoilppgh四、皮托管柏努利定理告诉我们，沿流线流体的机械能是守恒的，动能、势能和压力能可以相互转换。考虑在流场中，放置一如图的圆柱体，其头部为光滑过渡面，如半球面，放置方向与来流一致，则可得如图的流场。前面讲过，迎风的前缘上是一滞止点，该点的流速为零。到管壁侧面，离头部足够远，流速又恢复到了接近远前方的流速(因为柱体足够小)，即V2=V∞。写出∞、2两点的伯努利方程：22222222VpVpgzgzpp再写出1、2两点的伯努利方程，设g(z2-z1)很小，并有V1=0：2122122pVpgzgz滞止点与滞止参数：根据柏努利方程，如果忽略位置高度的影响，当流体质点沿着流线运动时，随着速度的降低其压力会增高，而当V=0时，其压力会达到可能的最大值。我们将此时流体质点所处的状态叫做滞止状态，对应的空间点叫做滞止点。如图由∞点到1点的这条流线，写出该两点的柏努力方程，并假设z∞=z1，有：2*101()2Vpppp也就是说，在1点全部动能都转换成了压力能。我们将此压力称为滞止压力，或者总压，记为p0或者p*。其实，滞止压力沿流线是不变的。定义为总压，有2122122