《2.1-离散型随机变量及其分布列》-同步练习-7

《2.1离散型随机变量及其分布列》同步练习7基础练习一、选择题1．若随机变量X的分布列如下表所示，则表中a＝()X＝xi1234P(X＝xi)121616aA.12B.16C.56D．0[答案]B[解析]根据随机变量的分布列的性质可得a＝1－12－16－16＝16.2．离散型随机变量ξ所有可能值的集合为{－2，0，3，5}，且P(ξ＝－2)＝14，P(ξ＝3)＝12，P(ξ＝5)＝112，则P(ξ＝0)的值为()A．0B.14C.16D.18[答案]C[解析]根据离散型随机变量分布列的性质有P(ξ＝－2)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝1，所以14＋P(ξ＝0)＋12＋112＝1.解得P(ξ＝0)＝16.3．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝ann＋(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(12ξ52)的值为()A.23B.34C.45D.56[答案]D[解析]因为P(ξ＝n)＝ann＋(n＝1，2，3，4)，所以a2＋a6＋a12＋a20＝1，所以a＝54，因为P(12ξ52)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝54×12＋54×16＝56.故选D.二、填空题4．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ8)＝________，P(6ξ≤14)＝________.[答案]2323[解析]因为P(ξ＝5)＋P(ξ＝6)＋…＋P(ξ＝16)＝1，且P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)，所以P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)＝112，则P(ξ8)＝P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＋…＋P(ξ＝16)＝112×8＝23.P(6ξ≤14)＝p(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋…＋P(ξ＝14)＝112×8＝23.5．设随机变量ξ的分布列为ξ1234P13m1416则m＝________，η＝ξ－3的分布列为________．[答案]14η－2－101P13141416[解析]首先由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，得m＝14.再由随机变量ξ和η＝ξ－3表示的试验结果是相同的，可以求出η＝ξ－3对应的概率，列出分布列．三、解答题6．旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条线路．(1)求3个旅游团选择3个不同线路的概率；(2)求选择甲线路的旅游团数的分布列．[解析](1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为A3443＝38.(2)设选择甲线路的旅游团数为ξ，则ξ＝0，1，2，3.P(ξ＝0)＝3343＝2764，P(ξ＝1)＝C13·3243＝2764，P(ξ＝2)＝C23·343＝964，P(ξ＝3)＝C3343＝164.所以ξ的分布列为ξ＝k0123P(ξ＝k)27642764964164能力提升一、选择题1．已知离散型随机变量X的分布列为X123…nPknknkn…kn则k的值为()A.12B．1C．2D．3[答案]B[解析]由分布列的性质可知nkn＝1，∴k＝1.2．设离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝k15，k＝1，2，3，4，5，则P(12X52)等于()A.12B.19C.16D.15[答案]D[解析]P(12X52)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝115＋215＝15.3．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．前5次均未击中目标[答案]C[解析]本题易错选为A，其实“X＝5”只能说明前4次均未击中目标，而第5次射击有可能击中目标，也有可能子弹打完而未击中目标．4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，P(ξ＝0)等于()A．0B.12C.13D.23[答案]C[解析]设ξ的分布列为ξ01Pp2p则“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.∴由p＋2p＝1得p＝13.应选C.5．设X是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X的概率分布列的一组数是()A．0，0，0，1，0B．0.1，0.2，0.3，0.4C．p，1－p(p为实数)D.11×2，12×3，…，1n－n，1n(n∈N＋)[答案]C[解析]随机变量的分布列具有两个性质：①非负性；②概率之和为1.可以根据这两个性质解决．A、B显然满足性质，适合．C中，设p＝3，显然1－p＝－20不满足非负性．D中有11×2＋12×3＋…＋1n－n＋1n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n＝1，故选C.[点评]在处理随机变量分布列的有关问题时，应充分利用分布列的性质求解．二、填空题6．已知离散型随机变量X的概率分布列如下：X0123Pm0.332m0.45则m的值为________．[答案]0.1[解析]由分布列的性质(2)，可得m＋0.3＋32m＋0.45＝1，解得m＝0.1.[点评]根据概率分布求参数的值(范围)，是离散型随机变量的分布列的性质的重要应用之一，主要是根据分布列的性质列出方程，通过解方程求出参数即可．7．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ckk＋(c为常数)，k＝1，2，3，则P(0.5ξ2.5)＝________.[答案]89[解析]由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，得c＝43，P(0.5ξ2.5)＝1－P(ξ＝3)＝1－433×4＝89.三、解答题8．设随机变量X的分布列为P(X＝k5)＝ak，(k＝1，2，3，4，5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X≥35)；(3)P(110X710)．[分析]分布列有两条重要的性质：Pi≥0，i＝1，2，…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X≥35或110X710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次实验中没有联系，只要求得满足条件各概率之和即可．[解析](1)由a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1得a＝115.(2)因为分布列为P(X＝k5)＝115k(k＝1、2、3、4、5)解法一：P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45.解法二：P(X≥35)＝1－[P(X＝15)＋P(X＝25)]＝1－[115＋215]＝45.(3)因为110X710，只有X＝15、25、35时满足，故P(110X710)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X＝35)＝115＋215＋315＝25.[点评]随机变量并不一定要取整数值．它的取值一般来源于实际问题，且有其特定的含义，因此，可以是R中的任意值．但这并不意味着可以取任何值．它只能取分布列中的值．而随机变量取某值时，其所表示的某一实验发生的概率值，必须符合性质．9．设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0的实根的个数(重根按一个计)，求X的分布列．[分析]用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0的实根的个数，易知X有0，1，2三个可能取值，随机变量对应的随机事件可用Δ＝b2－4c与0的大小表示．[解析]由题意，X的可能取值为0，1，2.随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b，c)|b，c＝1，2，…，6}，元素总个数为36.X＝0对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c0，b，c＝1，2，…，6}，元素个数为17；X＝1对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1，2，…，6}，元素个数为2；X＝2对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c0，b，c＝1，2，…，6}，元素个数为17.由此可知，P(X＝0)＝1736，P(X＝1)＝118，P(X＝2)＝1736，故X的分布列为X＝xi012P(X＝xi)17361181736[点评]本题将分布列和方程相结合，解题关键是理清方程有根的条件，进而计算出试验的所有基本事件数以及随机事件所包含的基本事件数．比如方程实根个数为1，则Δ＝0，利用它找到骰子之间的关系．10．(2014·福州模拟)某学院为了调查本校学生2014年9月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列．[解析](1)由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10.(2)随机变量Y的所有可能取值为0，1，2.P(Y＝0)＝C230C240＝2952；P(Y＝1)＝C110C130C240＝513；P(Y＝2)＝C210C240＝352.所以Y的分布列为：Y012P2952513352