1随机变量定义(精)

概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便、更有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念．1.为什么引入随机变量?一、引入§2.1随机变量及其分布函数2.随机变量的引入实例1在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.S={红色、白色}非数量将S数量化?可采用下列方法S红色白色)(eXR10即有X(红色)=1,.,0,,1)(白色红色eeeXX(白色)=0.这样便将非数量的S={红色，白色}数量化了.实例2抛掷骰子,观察出现的点数.,3)3(,2)2(,1)1(XXX,6)6(,5)5(,4)4(XXX).6,5,4,3,2,1(,61}{iiXPS={1，2，3，4，5，6}样本点本身就是数量（不需要数量转化）恒等变换且有eeX)(则有,{}.,(),()(),.ESeeSXeXXeeS设是随机试验它的样本空间是如果对于每一个有一个实数与之对应这样就得到一定义在上的单值实值为随数称函机变量个二、随机变量的概念1.定义2.说明注1：随机变量与普通函数的异同点：(1)值域均为实数区域；(2)随机变量的定义域为样本空间，不一定为实数区域，而普通函数的定义域为实数区域。(3)普通函数的取值是一定的，而随机变量的取值是有一定的概率的。实例3掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:),(1反面朝上e),(2正面朝上e若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有)(eX)(1反面朝上e)(2正面朝上e100)(1eX1)(2eX即X(e)是一个随机变量.实例4在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有4个样本点:).,(),,(,),(),,(4321女女男女女男男男eeee若用X表示该家女孩子的个数时,则有,0)(1eX,1)(2eX,1)(3eX,2)(4eX可得随机变量X(e),.,2,,,1,,0)(4321eeeeeeeeeX实例5设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则,)(抽得的白球数eX是一个随机变量.实例6设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则,)(射中目标的次数eX是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:,0,1.2且X(e)的所有可能取值为:.30,,3,2,1,0实例6设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击,直到击中目标为止,则,)(所需射击次数eX是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:.,3,2,1实例7某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则,)(此人的等车时间eX是一个随机变量.且X(e)的所有可能取值为:].5,0[说明：该随机变量取值点是无穷多个，且是连续的。3.随机变量的分类离散型(1)离散型随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.随机变量连续型实例：例1～例6非离散型其它实例9随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误差”.则X的取值范围为(a,b).实例8随机变量X为“灯泡的寿命”.).,0[(2)连续型随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为实例：例7一、定义设X为一个随机变量，对任意实数x，称F(x)=P(Xx)为X的分布函数.随机变量的分布函数分布函数引入的必要性：描述随机变量的特性；定义域、值域的优点；数学工具的的方便使用。随机变量随机变量的分布函数说明(1)分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况..)()2(的一个普通实函数是分布函数xxF);,(,1)(0)1(xxF);(),()()2(2121xxxFxF证明21xx由},{}{21xXPxXP得).()(21xFxF故}{1xX},{2xX},{)(11xXPxF又},{)(22xXPxF二、分布函数的性质,0)(lim)()3(xFFx},{)(xXPxF0}{lim)(limxXPxFxxxoxo;1)(lim)(xFFx证明,越来越小时当x,}{的值也越来越小xXP有时因而当,x.),(,,),(,}{,内必然落在时当而的值也不会减小增大时当同样XxxXxXPx).(),()(lim)4(000xxFxFxx即任一分布函数处处右连续..,1,,,0,,0,0)(221211xxxxxpxxpxxF.1}{lim)(limxXPxFxx所以xo)(xF1x2x1p2p1重要公式),()(}{)1(aFbFbXaP).(1}{)2(aFaXP证明},{}{}{bXaaXbX因为,}{}{bXaaX},{}{}{bXaPaXPbXP所以).()(}{aFbFbXaP故,2163)2(,3162)1(,61)1(2,1,16,...,3,2,1,61)(:.6,...,3,2,1),(},,,,,{,2,2,2,1,1,1:654321654321XPXPXPXkXPkXXkk，其概率为的可能取值为。而显然令随机变量则样本空间设解例1设袋中有标号为:－1,1,1,2,2,2的6个球，从中任取一球，求所取得球的标号数的分布函数。例题212121116110)(:1213161)(,}2{}1{}1{}{,2)4(213161)(,}1{}1{}{,21)3(61)(},1{}{,11)2(0)(,}{,1)1()()(xxxxxFxFXXXxXxxFXXxXxxFXxXxxFxXxxXPxF综述得有当有当有当故当其分布函数)x(Fx-101284288(1),(2)105109452181(3)109845014125()()44234513PXPXPXxxFxPXxxx解：练习设10件产品中恰好有两件次品，现在接连进行不放回抽样，直到取得正品为止，试求抽样次数X的分布函数。例3一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解,0时当x,}{是不可能事件xXP,20时当x.,}0{2是常数kkxxXP,1}20{XP由,14k得.41k即.4}0{2xxXP因而;0}{)(xXPxF于是于是}{)(xXPxF,2时当x故X的分布函数为.2,1,20,4,0,0)(2xxxxxF}0{XP}0{xXP.42x}{)(xXPxF.1其图形为一连续曲线