第2章-状态方程与输出方程

现代控制理论电子与信息工程学院主讲人：赫健2.1状态空间描述的概念2.2一般时域描述化为状态空间描述2.3频域描述化为状态空间描述2.4根据状态变量图列写状态空间描述2.5根据方块图导出状态空间描述2.6将状态方程化为规范形式小结第2章状态方程与输出方程系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入-输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入-单输出系统极为有效，可从传递函数的零极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量，因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入-多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法——状态空间分析法。现代控制理论第2章状态方程与输出方程2.1状态空间描述的概念一、基本定义现代控制理论第2章状态方程与输出方程如图2.1所示的RLC网络，u为输入变量，uc为输出变量，试求其数学描述。例题2.1解：由图分析可知列写该回路的微分方程为uudtduRCdtudLCccc22uudtdiLRiidtduCcc图2.1RLC网络图第一种形式的数学描述第二种形式的数学描述现代控制理论第2章状态方程与输出方程uLiLRuLdtdiiiCdtduuccc111uLiuLRLCiucc10110一阶微分方程组表示形式为向量矩阵方程表示形式为传递函数表示形式为11)()(2RCsLCssusuc第三种形式的数学描述现代控制理论第2章状态方程与输出方程由例题2.1可知，系统的描述可分为外部描述和内部描述两种。外部描述(输入-输出描述)：描述的前提是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系，即输入-输出间的因果关系。表征这种描述的数学方法为传递函数表示式。内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模型，它需要有两个数学方程来组成。一个是反映系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的数学表达式，称状态方程；另一个是表征系统内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换关系的数学表达式，称输出方程。传递函数向量矩阵方程现代控制理论第2章状态方程与输出方程同时可以建立以下几个基本概念。1、状态变量状态变量是能够完整地准确地描述系统的时域行为的最小一组变量。即、、…、。)(2tx)(1tx)(txn满足：①在任何时刻t=t0，这组状态变量的值、、…、都表示系统在该时刻的状态；②只要t0时状态已知，tt0时的输入电压u(t)已知，则今后的运动状态也唯一地确定了。)(1tx)(2tx)(txn现代控制理论第2章状态方程与输出方程)()()()(321txtxtxtx2、状态向量以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。即3、状态空间以各状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。4、状态空间描述在状态空间中建立的描述系统性能的数学模型，包括状态方程和输出方程。现代控制理论第2章状态方程与输出方程二、状态空间描述的建立通过实际的物理模型来了解系统的建模步骤及思想，同时说明状态变量的特点。如图2.2所示的机械系统，外力u(t)为系统的输入量，位移y(t)为系统的输出量，试求其数学描述。例题2.2图2.2机械系统图解：根据牛顿第二定律分析可得fVKyudtdVmmadtdyV建立步骤现代控制理论第2章状态方程与输出方程umxmfxmkxxx121221令、，则动态方程为yx1yVx21xy则系统的状态空间描述为2101xxyumxxmfmkxx101021211、由已知条件分析得出系统的微分方程；2、确定系统的状态变量；3、列写系统的状态空间描述。现代控制理论第2章状态方程与输出方程如图2.3所示的RLC网络，u为输入变量，uc为输出变量，试求其数学描述。例题2.3解：由图分析可知uudtdiLRiidtduCcc图2.3RLC网络图①选取状态变量x1=uc、x2=i，则uLxLRxLxxCx111212211xyuLxxLRLCxx101102121现代控制理论第2章状态方程与输出方程列写状态空间描述为2101xxy②选取状态变量x1=i、x2=uc，则12211111xCxuLxLxLRx2xy列写状态空间描述为2110xxyuLxxCLLRxx010112121现代控制理论第2章状态方程与输出方程由此可见，状态变量选择的不同，则系统的状态空间描述的表达形式也是不同的。但它们描述的都是同一个物理过程，所以在它们之间一定存在某种坐标变换关系，即可以通过一个变换矩阵来相互转化。状态变量的特点1、状态变量的选取不唯一；2、状态变量的个数唯一。三、状态空间描述的表示形式现代控制理论第2章状态方程与输出方程1、单输入-单输出(SISO)线性定常系统ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量为阶跃函数，即u的导数为零。SISO线性定常连续系统，其状态变量为x1、x2、…、xn，则一般形式的状态空间描述写作：式中常系数与系统特性有关。dcccbbbaaannn;,,,;,,,;,,,212111211duxcxcxcynn2211——系统矩阵，由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性；nnA现代控制理论第2章状态方程与输出方程其中，DuCXyBuAXXnbbbB21——输入矩阵，体现了系统输入的施加情况；1nB——输出矩阵，表达了输出变量与状态变量之间的关系；nC1——直接转移矩阵(或称关联矩阵)，表示了控制向量u直接转移到输出变量y的转移关系。11D以上方程可写成矩阵形式，即nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211ncccC21nxxxX21现代控制理论第2章状态方程与输出方程用方块图表示如图2.4所示。图2.4线性定常系统方块图XADXuyBC2、多输入-多输出(MIMO)线性定常系统现代控制理论第2章状态方程与输出方程MIMO线性定常连续系统一般形式的状态空间描述为：rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax22112211222212122221212121211112121111rmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211现代控制理论第2章状态方程与输出方程DUCXYBUAXX其中，、、、，n表示系统维数，r表示输入向量的维数，m表示输出向量的维数。nnArnBnmCrmDnrnnrrbbbbbbbbbB212222111211mnmmnncccccccccC212222111211mrmmrrdddddddddD212222111211以上方程可写成矩阵形式，即myyyY21nxxxX21ruuuU21现代控制理论第2章状态方程与输出方程3、多输入-多输出(MIMO)线性时变系统UtDXtCYUtBXtAX)()()()(4、非线性定常系统),(),(uxgYuxfX5、非线性时变系统),,(),,(tuxgYtuxfX现代控制理论第2章状态方程与输出方程四、系统状态空间描述的特点★状态空间描述考虑了“输入-状态-输出”这一过程，因此它提示了问题的本质。输入引起的状态变化是一个运动过程，数学上表现为向量微分方程，即状态方程；状态决定输出是一个变换过程，数学上表现为变换方程，即代数方程。★对于给定系统，状态变量的选择不是唯一的。一般来说，状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量，但从便于控制系统的结构来说，把状态变量选为可测量或可观察更为合适。系统的状态变量个数仅等于系统包含的独立贮能元件的个数。★系统的状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法。要解决的问题：选取适当的状态变量，并由确定出相应的系数矩阵A、B、C、D。现代控制理论第2章状态方程与输出方程ubububyayaynnnnnn)1(1)(0)1(1)(DuCXyBuAXX在经典控制理论中，控制系统的时域模型：),,2,1(niai),,2,1,0(njbj线性定常系统的状态空间描述为：2.2一般时域描述化为状态空间描述现代控制理论第2章状态方程与输出方程一、微分方程中不包含输入函数的导数系统的微分方程：ubyayayaynnnnn1)1(1)(1、选取状态变量若给定初始条件、、…、和t≥0时的输入，则系统的行为被完全确定，故选择、、…、作为系统的一组状态变量，即)0(y)0()1(ny)0(y)(tuy)1(nyy)1(21nnyxyxyx现代控制理论第2章状态方程与输出方程2、列写一阶微分方程组ubxaxaxayxxyxxyxxyxnnnnnnnnn1211)()1(132213、列写系统的状态空间描述ubxxxxaaaaxxxxnnnnnnnn000100001000010121121121状态方程：nnxxxxy1210001输出方程：现代控制理论第2章状态方程与输出方程其中，称为酉矩阵，，，。121100001000010aaaaAnnnnbB0000D0001C系统结构图如图2.5所示。注意：状态变量是输出y及y的各阶导数；系统矩阵A特点。现代控制理论第2章状态方程与输出方程图2.5系统结构图unxy1nx1x2xnbnxna1a2a现代控制理论第2章状