专题七--二次函数特殊四边形的存在性问题

专题七二次函数综合题类型三特殊四边形的存在性问题(遵义2014.27(3)；铜仁2018.25(2))【方法指导】①平行四边形的判定已知问题找点求点坐标已知三个点已知平面上不共线三个点A、B、C，求一点P，使得A、B、C、P四个点组成平行四边形连接AB、AC、BC，分别过点A、B、C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点P①分别求出直线P1P2，P2P3，P1P3的解析式，再求出交点即为P点；②可由点的平移来求坐标已知两个点已知平面上两个点A、B，求两点P、Q，使得A、B、P、Q四个点组成平行四边形(题目中P、Q的位置有具体限制)分两种情况讨论：①若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P、Q的位置；②若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P、Q的位置①通过点的平移，构造全等三角形来求坐标；②由中点坐标公式可推出：坐标系中▱ABCD的四个点A、B、C、D的坐标满足xA＋xC＝xB＋xD；yA＋yC＝yB＋yD②矩形、菱形的判定方法参照①中平行四边形的判定．典例精讲例已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式、顶点坐标和对称轴；例题图①【思维教练】要求抛物线的解析式，需将A，B，C三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，解方程组即可；把抛物线一般式化成顶点式，可得抛物线的顶点坐标和对称轴．解：将点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点代入y＝ax2＋bx＋c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.把y＝x2－4x＋3化成顶点式为y＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x＝2；09303abcabcc143abc(2)过点C作CD平行于x轴，交抛物线对称轴于点D，试判断四边形ABDC的形状，并说明理由；例题图②【思维教练】要判断四边形ABDC的形状，观察发现：四边形ABDC为平行四边形，结合已知条件有CD∥AB，再设法证明AB＝CD即可．解：四边形ABDC是平行四边形．理由如下：∵D点在抛物线的对称轴上，CD∥x轴，∴D点的横坐标为2，即CD＝2，∵A(1，0)，B(3，0)，∴AB＝2，∴AB＝CD，又∵CD∥AB，∴四边形ABDC是平行四边形；(3)如果点G是直线BC上一点，点H是抛物线上一点，是否存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点H的坐标；例题图③【思维教练】先假设存在满足条件的点G和H，由于OC的长度和位置确定，所以点G、H的纵坐标之差的绝对值与OC相等，据此可求出点H的坐标．解：存在，如解图①，设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点B(3，0)，C(0，3)代入可得：，解得，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵点G在直线BC上，点H在抛物线上，且以点G，H，O，C构成的四边形是以OC为边的平行四边形，∴GH⊥x轴，GH＝OC，∴设G点坐标为(n，－n＋3)，H点坐标为(n，n2－4n＋3)，例题解图①300kbb13kb∵GH＝OC＝3，∴GH＝|n2－4n＋3－(－n＋3)|＝|n2－3n|＝3，当n2－3n＝3时，解得n＝；当n2－3n＝－3时，方程无解；∵当n＝时，n2－4n＋3＝；当n＝时，n2－4n＋3＝.综上所述，存在这样的点G和H，使得以G，H，O，C为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为(，)或(，)；321232129212321292123212921232129212例题解图①(4)如果点M在直线BC上，点N在抛物线上，是否存在这样的点M和N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；例题图④【思维教练】先假设存在满足条件的点M、N，因为AB长度和位置确定，故需分AB作边还是对角线两种情况进行讨论：当AB为边时，则MN∥AB，且MN＝AB，据此可求出点N的坐标；当AB为对角线时，则MN与AB互相平分，从而确定点N的坐标．解：存在点M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形．①当AB为平行四边形的边时，需考虑点M和N的位置关系(即点M在点N的左边还是右边)，如解图②，(ⅰ)当点M在点N的左边时，设点N的坐标为(m，m2－4m＋3)，则点M的坐标为(m－2，－m＋5)，∵四边形ABNM是平行四边形，∴m2－4m＋3＝－m＋5，解得m＝，当m＝时，m2－4m＋3＝；当m＝时，m2－4m＋3＝.∴点N的坐标为(，)或(，)；例题解图②317231727172317271723172717231727172(ⅱ)当点M在点N的右边时，设点N′的坐标为(m，m2－4m＋3)，则点M′的坐标为(m＋2，－m＋1)，∵四边形ABM′N′是平行四边形，∴m2－4m＋3＝－m＋1，解得m＝1或2，∵当m＝1时，点N与点A重合，故舍去；当m＝2时，m2－4m＋3＝－1，∴点N的坐标为(2，－1)；②当AB为平行四边形的对角线时，则MN与AB互相平分，如解图③，AB与MN相交于点J，易得J(2，0)，易得AJ＝NJ＝BJ＝MJ，设M(m，－m＋3)，N(n，n2－4n＋3)，则有＝2，－m＋3＋n2－4n＋3＝0，整理，得n2－3n＋2＝0，解得n1＝1(舍去)，n2＝2，∴N点坐标为(2，－1)．综上所述，点N的坐标为(，)，(，)，(2，－1)；例题解图③2mn3172717231727172(5)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为K，点P是抛物线对称轴上一点，点Q为y轴上一点，是否存在这样的点P和Q，使得四边形CKPQ是菱形？如果存在，请求出点P的坐标；例题图⑤【思维教练】先假设存在满足条件的点P，由于四边形CKPQ四个顶点顺序已确定，则CK为菱形的边，故利用KP＝CK上下平移直线BC，与抛物线对称轴的交点即为所求点P.解：存在．理由如下：∵K点的坐标为(2，1)，∴CK＝，假如存在这样的点P，使得四边形CKPQ为菱形，则KP＝CK＝2，如解图④，当点P在点K的下方时，点P1的坐标为(2，1－2)，当点P在点K的上方时，点P2的坐标为(2，1＋2)．∴点P的坐标为(2，1－2)或(2，1＋2)；例题解图④222312222222(6)若点R是抛物线对称轴上一点，点S是平面直角坐标系内任一点，是否存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形？若存在，求出点R、S的坐标．例题图⑥【思维教练】先假设存在满足条件的点R、S，要使四边形BCRS为矩形，则点R在直线BC上方，且∠BCR＝90°，可通过寻找相似三角形利用相似求出点R，再根据矩形性质求出点S.解：存在，如解图⑤，要使四边形BCRS为矩形，抛物线对称轴交x轴于点T，则∠BCR＝90°，∴△CRK∽△TBK，∴，由(5)知，K(2，1)，CK＝2，∵T(2，0)，TK＝1，BK＝，∴RK＝＝4，∴R(2，5)，∵CB∥RS，CB＝RS，根据点平移及矩形性质可得S(5，2)．故存在满足条件的点R、S，使得四边形BCRS为矩形，且点R、S的坐标分别为R(2，5)，S(5，2)．例题解图⑤CKRKTKBK22232122221CKBKTK针对演练1.如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．第1题图72解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将对称轴和A、B两点的坐标代入抛物线解析式，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x－4，配方，得y＝－(x－)2＋，∴顶点坐标为(，)；(2)设E点坐标为(x，－x2＋x－4)，S＝2×OA·yE＝6(－x2＋x－4)，即S＝－4x2＋28x－24；72236604baabcc231434abc14323237225672256231431223143(3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即－4x2＋28x－24＝24，化简，得x2－7x＋12＝0，解得x＝3或4，当x＝3时，EO＝EA，则平行四边形OEAF为菱形；当x＝4时，EO≠EA，则平行四边形OEAF不为菱形．∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形．2.(2017陕西)在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．(1)求抛物线C1、C2的函数表达式；(2)求A、B两点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵C1与C2关于y轴对称，∴C1与C2交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，∴a＝1，n＝－3，∴C1的对称轴为x＝1，∴C2的对称轴为x＝－1，∴m＝2，∴C1：y＝x2－2x－3，C2：y＝x2＋2x－3；(2)令C2中y＝0，则x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∵点A在点B左侧，∴A(－3，0)，B(1，0)；(3)存在．如解图，设P(a，b)，第2题解图∵四边形ABPQ是平行四边形，∴PQ＝AB＝4，∴Q(a＋4，b)或(a－4，b)．①当Q(a＋4，b)时，得a2－2a－3＝(a＋4)2＋2(a＋4)－3，解得a＝－2，∴b＝a2－2a－3＝4＋4－3＝5，∴P1(－2，5)，Q1(2，5)；②当Q(a－4，b)时，得a2－2a－3＝(a－4)2＋2(a－4)－3，解得a＝2，∴b＝a2－2a－3＝4－4－3＝－3.∴P2(2，－3)，Q2(－2，－3)．综上所述,所求点的坐标为P1(－2，5),Q1(2，5)或P2(2，－3)，Q2(－2，－3)．类型四相似三角形的存在性问题(铜仁2018.25(3))【方法指导】△ABC与△DEF相似，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了．两个三角形均为直角三角形两个三角形有一个公共角若△ABC与△DEF相似，∠B＝∠E＝90°，则△ABC∽△DEF或△ABC∽△FED若△ABC与△AEF相似，则△ABC∽△AEF或△ABC∽△AFE另外，如果不满足以上两种情况，①但可以确定已知三角形的形状(特征)时，先确定动态三角形中固定的因素，看是否与已知三角形中有相等的角，若存在，根据分类讨论列比例关系式求解；②已知条件中有一条对应边，只需要讨论另外两条边的对应关系，列比例关系式求解；③若可得相似三角形的某个对应角的度数时，分类讨论另外两个角的对应情况，列比例关系式求解．典例精讲例如图，抛物线图象交x轴于A、B两点，且点A位于x轴的正半轴，点B位于x轴的负半轴，且OA＝，OB＝3.抛物线交y轴于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式；例题图①【思维教练】要求抛物线的解析式，已知OA，OB的长度，可知点A、B的坐标，再结合点C的坐标，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式．33解：∵OA＝，点A在x轴的正半轴，∴A(，0)，∵OB＝3，点B在x轴的负半轴，∴B(－3，0)，设抛物线的解析式为：y＝ax2＋bx＋c，将点A(，0)，B(－3，0)，C(0，3)代入，得，解得，即此抛物线的解析式为y＝－x2－x＋3；333333330273303abcabcc132333abc