专题七--二次函数全等三角形的存在性问题

专题七二次函数综合题类型五全等三角形的存在性问题(铜仁2017.25(2))【方法指导】全等的两个三角形，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了．两个三角形有一条公共边确定方法：①以公共边为对称轴在两边作对称图形，则△ABC≌△ABE；②作△ABC，△ABE关于AB的垂直平分线对称的图形，则△ABC≌△BAD，△ABE≌△BAF有一组对应角相等△ABC与△DEF全等，∠B＝∠E(或等于90°)则①△ABC≌△DEF；②△ABC≌△FED.注：∠B＝∠E＝90°时，通常根据勾股定理求解典例精讲例(2017铜仁25(1)(2))如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(0，－2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三点不在同一直线上)．(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；例题图【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达式，通过解方程组，可得到b，c的值．解：将点A(－1，0)，B(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中，得，解得，∴二次函数表达式为y＝x2－x－2；102bcc12bc(2)在抛物线上找出两点P1、P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出P1、P2的坐标．【思维教练】利用全等时对应边相等，结合抛物线的对称性，分两种情况：①分别作B、C点关于对称轴对称的点，所作对称点即为所求P1，P2点；②作BC的平行线，与抛物线的交点，即为所求P点．例题图解：令y＝x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，所以点C的坐标为(2，0)．易得抛物线对称轴为x＝－，①如解图，取点C关于对称轴l的对称点A，点B关于对称轴l的对称点为B′(1，－2)，则当点P1，P2与A，B′重合时，有△MP1P2与△MBC全等，此时，P1(－1，0)，P2(1，－2)．例题解图122ba②过点M作MP1′∥BC，交抛物线于点P1′，如解图，若△MP1′C≌△CBM，则MP1′＝CB.∴四边形MBCP1′为平行四边形，∴xM－xB＝xP1′－xC；∴＝xM－xB＋xC＝－0＋2＝.将x＝代入y＝x2－x－2中，得y＝，∴P1′(，)，此时P2′与C点重合，∴P1′(，)，P2′(2，0)．综上所述，满足条件的P1，P2点的坐标分别为P1(－1，0)，P2(1，－2)；P1′(，)，P2′(2，0)．12525274527452745274例题解图1'px针对演练1.(2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)直线y＝－x＋n与抛物线在第四象限内交于点D，与线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE＝4EC.①求n的值；②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF与△CGD是否全等？请说明理由．32第1题图解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，将A(－1，0)，B(2，0)代入抛物线解析式可得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝x2－x－3；32302620bcbc323bc3232(2)①如解图，过点E作EE′⊥x轴于点E′，∴E′E∥OC，∴＝，∵BE＝4CE，∴BE′＝4OE′，设点E的坐标为(x，y)，∴OE′＝x，BE′＝4x.∵点B坐标为(2，0)，∴OB＝2，∴x＋4x＝2，∴x＝，∵抛物线y＝x2－x－3与y轴交于点C，∴当x＝0时，y＝－3，∴C(0，－3)．''BEOEBECE253232第1题解图设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，∵B(2，0)，C(0，－3)，将B、C两点代入解析式，得，解得k＝，∴直线BC的解析式为y＝x－3.∵当x＝时，代入直线BC的解析式，得y＝－，∴E(，－)．∵点E在直线y＝－x＋n上，∴－＋n＝－，∴n＝－2；11203kbb3232251252512525125②全等；理由如下：∵直线EF的解析式为y＝－x－2，∴当y＝0时，x＝－2，∴F(－2，0)，∴OF＝2.∵A(－1，0)，∴OA＝1，∴AF＝1，∵抛物线与直线y＝－x－2相交于点D，联立方程，得，解得或.∵点D在第四象限，∴点D的坐标为(1，－3)．2333222yxxyx112343xy2213xy∵点C的坐标为(0，－3)，∴CD∥x轴，CD＝1，∴∠AFG＝∠CDG，∠FAG＝∠DCG，∵CD＝AF＝1，∴△AGF≌△CGD(ASA)．2.如图，一次函数y＝－x＋2与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．(1)求此抛物线的表达式；(2)求当△APQ为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；(3)点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，△APQ的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得△APT≌△APO？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．3323第2题图解：(1)把x＝0代入y＝－x＋2中，得y＝2.把y＝0代入y＝－x＋2中，得x＝2.∴A(2，0)，B(0，2)，把A(2，0)，B(0，2)分别代入y＝－x2＋bx＋c中，得b＝，c＝2，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2；3333333333333(2)∵OA＝2，OB＝2，由勾股定理，得AB＝＝4，∴∠BAO＝30°.运动t秒后，AQ＝t，BP＝2t.由△APQ为等腰三角形，有QA＝QP，AP＝AQ，PA＝PQ三种情况，322OAOB①当QP＝QA时，如解图①，过点Q作QD⊥AB于点D，则D为AP的中点．在Rt△ADQ中，QD＝AQ＝t，AD＝PD＝AQ＝t，∴AP＝t，∵BP＋AP＝AB，∴2t＋t＝4.解得t＝8－4；12123232333第2题解图①②当AP＝AQ时，(ⅰ)若点P在x轴上方的直线AB上，AP＝t，BP＝2t，BP＋AP＝AB，∴t＋2t＝4，解得t＝.(ⅱ)若点P在x轴下方的直线AB上，∵AP＝BP－AB＝AQ，∴2t－4＝t，解得t＝4；43③当PA＝PQ时，如解图②，过点P作PE⊥AO于点E.则AE＝AQ＝t，在Rt△PEA中，PE＝AE＝t.AP＝2PE＝t.∵BP＋AP＝AB，∴2t＋t＝4.解得t＝.综上所述，当△APQ为等腰三角形时，t的值为8－4或或4或；121233333333244311343244311第2题解图②(3)如解图③，过点P作PF⊥AO于点F，延长FP交抛物线于点T，连接AT.∴PF为△APQ底边AQ上的高．∵AP＝4－2t，∠BAO＝30°，∴PF＝AP＝2－t.∴S△APQ＝AQ·PF＝×t×(2－t)＝－(t－1)2＋.∴当t＝1时，△APQ的面积最大．此时点P为AB的中点，且P(，1)．连接OP，则OP＝AP＝BP，∵点P(，1)，∴点T的横坐标为，12121212123第2题解图③33将x＝代入抛物线的解析式，得y＝3.∴TP＝OP＝2.在Rt△TFA中，由勾股定理可知：TA＝2，∴AO＝TA.∴△APT≌△APO.∴存在点T，使△APT≌△APO，点T的坐标为(，3)．333类型六切线问题(遵义2015.27(3)；铜仁2015.23(3))【方法指导】抛物线中有关圆的切线的问题，一般为两种类型：①已知直线与圆相切的相关计算；②已知直线与圆相切，求直线解析式．对这两种问题，一般解题方法如下：①已知圆与直线相切时，连接切点与圆心，得到垂直，再结合题干中的已知条件，利用直角三角形或相似三角形的性质进行计算；若判断抛物线对称轴与圆的位置关系，只要根据圆心到对称轴距离与圆半径大小关系即可确定；②若已知圆与直线相切，需根据题意分析，切线只存在一条，还是两条，若为两条，常要进行分类讨论计算，然后根据勾股定理或相似列方程求出点坐标，得到直线解析式．典例精讲例如图，抛物线与x轴交于点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．(1)求抛物线的解析式；【思维教练】根据题意设抛物线的顶点式，将C(0，2)代入即可得解．例题图解：∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)，∴设抛物线解析式为：y＝a(x＋4)(x－2)，把C(0，2)代入，得2＝a×4×(－2)，即a＝－，∴所求抛物线的解析式为y＝－(x＋4)(x－2)＝－x2－x＋2；14141412(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D三点为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示出△ACD的面积，且由题意知yD0，将△ACD拆分成同底，且以点A、C为顶点的两个三角形求解．例题图解：依题意可设D(x，－x2－x＋2)(－4＜x＜0)，如解图①，连接AC，过点D作DF⊥x轴交AC于点F，设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－4，0)，C(0，2)代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝x＋2，∴F(x，x＋2)，1412402kbb122kb1212S△ADC＝S△ADF＋S△CDF＝(xD－xA)(yD－yF)＋(xC－xD)(yD－yF)＝(xC－xA)(yD－yF)＝×4×(－x2－x＋2－x－2)＝－x2－2x＝－(x＋2)2＋2，∵－＜0，－4x0，∴当x＝－2时，S△ADC有最大值，最大值为2，此时D(－2，2)；例题解图①12121212121214121212(3)以AB为直径作⊙M，直线l经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求直线l的解析式．【思维教练】解此题的关键是确定切点坐标，设切点为F，由题可得圆心点M坐标、半径长，点M与E为平行于y轴的直线上的两点，有切点，故构造直角三角形是解题切入点，由于过圆外一点存在两条圆的切线，故此题有两种情况．例题图解：如解图②，以AB为直径作⊙M，且由解图易知，存在两条过点E且与⊙M相切的直线l1，l2，切点分别为P、Q，连接MP，MQ，∵AB＝6，∴以AB为直径的⊙M的半径为3，即M(－1，0)，设切点Q坐标为(m，n)，且m0，∵MQ⊥EQ，ME＝5，MQ＝3，由勾股定理得EQ＝＝4，∴，解得或(舍去)，∴点Q(，－)，同理可得点P(－，－)，例题解图②222253MEMQ222213154mnmn117595mn2217595mn759517595设直线l1和直线l2的解析式分别为y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，则，解得；，解得.∴直线l1、l2的解析式分别是y1＝－x－，y2＝x－.∴直线l的解析式是y＝－x－或y＝x－.1111179555kbkb1143193kb222279555kbkb2243113kb43193431134319343113针对演练1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a0)与x轴交于A(3，0)、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是△ACD的外接圆的切线．第1题图12(1)解：∵抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋3，对称轴为直线x＝1，∴x＝－＝1，即b＝－2a，∵点A(3，0)在抛物线上，∴9a＋3b＋3＝0，联立得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.当x＝1时，y＝－1＋2＋3＝4，∴顶点D的坐标为(1，4)；2ba29330baab12ab(2