专题七--二次函数等腰三角形的存在性问题

专题七二次函数综合题类型一等腰三角形的存在性问题(遵义2017.27(1)，2014.27(2)；铜仁2015.25(2)；安顺2017.26(2))【方法指导】问题找点等腰三角形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形分别以点A、B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作AB的中垂线，两圆和中垂线与l的交点即为所有P点求点坐标“万能法”其他方法先假设点P存在，分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③BP＝AP列方程求解，若方程无解，则点P不存在；若方程有解，则满足条件的点P存在作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系典例精讲例如图，直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、C，与x轴交于另一点B，且B(1，0)．(1)求该抛物线的解析式；【思维教练】例题图①解：把y＝0代入y＝x＋3中，得0＝x＋3，解得x＝－3，∴点A坐标为(－3，0)，把x＝0代入y＝x＋3中，得y＝0＋3＝3，∴点C坐标为(0，3)，把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，分别代入y＝ax2＋bx＋c中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；93003abcabcc123abc(2)点D是y轴上一动点，若BD＝CD，求此时点D的坐标；【思维教练】例题图②解：如解图①，设D(0，d)，∵在Rt△ODB中，OD＝d，OB＝1，∴BD2＝OD2＋OB2＝d2＋1，∵CD2＝(3－d)2，BD＝CD，∴d2＋1＝(3－d)2，解得d＝，∴点D的坐标为(0，)；例题解图①4343(3)在抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；例题图③【思维教练】若△EAC是以AC为底的等腰三角形，则EA＝EC，即点E在线段AC的垂直平分线上，又因为点E在抛物线上，所以作线段AC的垂直平分线与抛物线的交点即为所求．解：存在．如解图②，过点O作OH⊥AC于点H，交抛物线于点E1，E2，连接E1A，E1C，E2A，E2C.∵OA＝OC＝3，OH⊥AC，∴AH＝CH，∴OH是AC的垂直平分线，∴E1A＝E1C，E2A＝E2C，易知直线OH的函数解析式为y＝－x，例题解图②联立，解得，，∴综上所述，存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，点E的坐标为E1(，)，E2(，)；223yxyxx1111321132xy2211321132xy1132113211321132例题解图②(4)点F是直线AC上一动点，连接BC，若△BCF是以BC为腰的等腰三角形，求出点F的坐标；例题图④【思维教练】△BCF是以BC为腰的等腰三角形，则有2种情况，即BC＝BF或CF＝CB.所以找点方法如下：①以B为圆心，BC长为半径画弧，与直线AC的交点即为所求；②以C为圆心，CB长为半径画弧，与直线AC的交点即为所求．解：①如解图③，当B为顶角顶点时，以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线AC于点F1，设F1(f,f＋3)，由题意可得，BC2＝10，＝(f－1)2＋(f＋3)2＝2f2＋4f＋10，∵BC＝BF1，∴BC2＝，∴10＝2f2＋4f＋10，解得f1＝0(舍去),f2＝－2，∴F1(－2，1)；例题解图③21BF21BF②如解图③，当C为顶角顶点时，以C为圆心，CB长为半径画弧，交直线AC于点F2，F3，设F(m，m＋3)，由题意可得，CF2＝m2＋(m＋3－3)2＝2m2，BC2＝10，∵CF＝CB，∴2m2＝10，解得m1＝－，m2＝，∴F2(－，－＋3)，F3(，＋3)．综上所述，满足条件的点F的坐标为F1(－2，1)，F2(－，－＋3)，F3(，＋3)；55例题解图③55555555(5)点G是抛物线对称轴上一动点，若△ACG为等腰三角形，求出点G的坐标．【思维教练】动点G在抛物线对称轴上，可以先设出其点坐标，再把△ACG的三边用含字母的代数式表示出来，△ACG为等腰三角形，腰和底不确定，所以需分①AG＝AC；②CA＝CG；③GA＝GC三种情况列方程求解．例题图⑤解：如解图④，抛物线y＝－x2－2x＋3的对称轴是直线x＝－＝－1，∴设G(－1，n)，则有AC2＝32＋32＝18，AG2＝[－1－(－3)]2＋n2＝4＋n2，CG2＝12＋(n－3)2＝n2－6n＋10，当△ACG是等腰三角形时，情况有3种：①当AG＝AC时，以A为圆心，AC长为半径作弧，交对称轴于G1、G2，则4＋n2＝18，解得n＝±，∴G1(－1，)，G2(－1，－)；例题解图④2ba141414②当CA＝CG时，以C为圆心，CA长为半径作弧，交对称轴于G3、G4，则18＝n2－6n＋10，解得n＝3±，∴G3(－1，3＋)，G4(－1，3－)；③当GA＝GC时，作AC的垂直平分线交对称轴于G5，则4＋n2＝n2－6n＋10，解得n＝1，∴G5(－1，1)．综上所述，满足条件的点G的坐标为G1(－1，)，G2(－1，－)，G3(－1，3＋)，G4(－1，3－)，G5(－1，1)．17171714141717针对演练1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(－4，0)、B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE.(1)求二次函数的表达式；(2)若点D是第二象限抛物线上的一个动点，求△ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标．(2)设直线AE的解析式为y＝kx＋b，将点A(－4，0)，E(0，－2)代入y＝kx＋b中，得∴，解得，解：(1)由题意可得：，解得，∴二次函数的解析式为；60240416ccbacba62343cba623432xxybbk240221bk∴AE所在直线解析式为y＝－x－2，如解图，过点D作DN与y轴平行，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，设D点坐标为(x0，)，则F点坐标为(x0，)，则DF＝＝，又∵S△ADE＝S△ADF＋S△EDF，第1题解图2162343020xx2210x221623430020xxx843020xx∴S△ADE＝DF·AG＋DF·EH＝×4×DF＝2×()＝，∴当x0＝－时，△ADE的面积取得最大值；(3)存在，点P的坐标为(－1，1)或(－1，)或(－1，－)或(－1，－2＋)或(－1，－2－)．32350111921843020xx350322320x21211119【解法提示】根据抛物线解析式可得对称轴为直线x＝－1，又∵A(－4，0)，E(0，－2)，①当AP＝AE时，设点P坐标为(－1，m)，则AP2＝AE2，即32＋m2＝(－4)2＋(－2)2，解得m＝±，点P的坐标为(－1，)或(－1，－)；②当EP＝AE时，设点P坐标为(－1，n)，则EP2＝AE2，即12＋(－2－n)2＝(－4)2＋(－2)2，解得n＝－2±，点P的坐标为(－1，－2＋)或(－1，－2－)；③当AP＝EP时，设点P坐标为(－1，t)，则AP2＝EP2，即9＋t2＝1＋(t＋2)2，111111191919解得t＝1，点P的坐标为(－1，1)．综上所述，抛物线对称轴上存在点P，使△AEP为等腰三角形，点P的坐标为(－1，1)或(－1，)或(－1，－)或(－1，－2＋)或(－1，－2－).111119192.如图，抛物线y＝x2－x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F.(1)求A，B，C三点的坐标；(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；第2题图(3)请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．3131(2)存在，点Q(，－4)或(1，－3)；解：(1)令y＝0，得x2－x－4＝0.解得x1＝－3，x2＝4.∵点A在点B的左侧，∴点A，B的坐标分别为A(－3，0)，B(4，0)．令x＝0，得y＝－4.∴点C的坐标为(0，－4)；3122522531【解法提示】设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(4，0)，C(0，－4)代入y＝kx＋b，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x－4，∵点Q在直线BC上，且点Q的横坐标等于点P的横坐标m，∴点Q的坐标为(m，m－4)，∵A(－3，0)，C(0，－4)，∴AC2＝OA2＋OC2＝32＋42＝25，CQ2＝(m－0)2＋[m－4－(－4)]2＝2m2，AQ2＝[m－(－3)]2＋(m－4)2＝2m2－2m＋25，404bbk41bk要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论，(ⅰ)当AC＝CQ时，即AC2＝CQ2，∴25＝2m2，解得m1＝，m2＝－，∵点Q在第四象限，∴m0，∴m－4＜0，∴0＜m＜4，∴m＝m1＝，∴m－4＝－4，∴点Q1的坐标为(，－4)；(ⅱ)当AC＝AQ时，即AC2＝AQ2，∴25＝2m2－2m＋25，解得m3＝0，m4＝1，225225225225225225∵点Q在第四象限，∴当m＝0时，不合题意舍去，∴m－4＝1－4＝－3，∴点Q2的坐标为(1，－3)；(ⅲ)当AQ＝CQ时，即AQ2＝CQ2，∴2m2－2m＋25＝2m2，解得m5＝，当m＝时，m－4＝，此时点Q在第一象限，不合题意，舍去．综上所述，满足使得以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形的点Q坐标为(，－4)或(1，－3)；225225217225225(3)如解图，过点F作FG⊥PQ于点G，则FG∥x轴．由B(4，0)，C(0，－4)，得△OBC为等腰直角三角形．∴∠OBC＝∠QFG＝45°.∵FG⊥PQ，∠QGF＝90°，∠FQG＝∠QGF－∠QFG＝90°－45°＝45°，∴△QFG为等腰直角三角形，∴GQ＝FG＝FQ.∵PE∥AC，∴∠1＝∠2.第2题解图∵FG∥x轴，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.22∵∠FGP＝∠AOC＝90°，∴△FGP∽△AOC.∴,即.∴GP＝FG＝FQ.∴QP＝GQ＋GP＝FQ＋FQ＝FQ.∴FQ＝QP.∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m，∠MBQ＝45°，∴QM＝MB＝4－m，PM＝－m2＋m＋4.OCGPAOFG43GPFG34322223226277233131∴QP＝PM－QM＝－m2＋m＋4－(4－m)＝－m2＋m.∴QF＝QP＝(－m2＋m)＝－m2＋m.∵－0，∴QF有最大值．∴当m＝－＝2时，QF有最大值．7237233472272472724723431313131类型二直角三角形的存在性问题(安顺2018.26(3))【方法指导】问题找点直角三角形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点求点坐标“万能法”其他方法先假设点P存在，分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由①AB2＝BP2＋AP2；②BP2＝AB2＋AP2；③AP2＝AB2＋BP2列方程，若方程无解，则点P不存在；若方程有解，则满足的点P存在作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系典例精讲例如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；例题图①【思维教