【理科】双曲线知识点总结及重点题型整理

1【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结及重点题型班级_______姓名________知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1.双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2.若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.双曲线（a＞0，b知识点三：双曲线的简单几何性质＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双2曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线与的区别和联系标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴实轴长=，虚轴长=离心率渐近线方程知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为3（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为一.定义的应用1．动点P与点1(05)F，与点2(05)F，满足126PFPF，则点P的轨迹方程为______________2．已知点)0,4(1F和)0,4(2F，曲线上的动点P到1F、2F的距离之差为6，则曲线方程为（）A．17922yxB．)0(17922yxyC．17922yx或17922xyD．)0(17922xyx3.已知平面上两定点12,FF及动点M，命题甲：122MFMFa（a为常数），命题乙：“点M轨迹是以12,FF为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的（）:A充分不必要条件:B必要不充分条件:C充要条件:D既不充分也不必要条件4双曲线224640xy上一点P到它的一个焦点的距离等于5.16，则点P到另一个焦点的距离等于.5．设P是双曲线22219xya上一点，双曲线的一条渐近线方程为320xy，12FF，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF，则2PF的值为．6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12FF，分别为(50)，和(50)，，点P在双曲线上且12PFPF，且12PFF△的面积为1，则双曲线的方程为__________________7.已知双曲线的两个焦点为12(5,0),(5,0)FF，P是双曲线上的一点，且12PFPF，122PFPF，则该双曲线的方程是（）:A22123xy:B22132xy:C2214xy:D2214yx8.已知21,FF为双曲线14222byx)0(b的焦点，过2F作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且02130FPF；则______b9．双曲线221916xy的两个焦点为12,FF，点P在双曲线上，若12PFPF，则点P到x轴的距离为10.双曲线16x2-9y2=144上一点P(x0,y0)(x0＜0)到左焦点距离为4，则x0=.11．若椭圆221(0)xymnmn和双曲线221(0)xyabab有相同的焦点12FF，，点P是两条曲线的一个交点，则12PFPF·的值为．12．动圆与两圆122yx和012822xyx都相切，则动圆圆心的轨迹为（）A．抛物线[来源:学.科.网]B．圆C．双曲线的一支D．椭圆413．P是双曲线22221(00)xyabab，左支上的一点，12FF，为其左、右焦点，且焦距为2c，则12PFF△的内切圆圆心的横坐标为二.双曲线的几何性质1．“ab0”是“方程cbyax22表示双曲线”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．双曲线myx222的一个焦点是)3,0(，则m的值是_________。3．如果双曲线的渐近线方程为34yx，则离心率为____________4．双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则m（）:A4:B14:C4:D145．双曲线12222byay的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为(）:A2:B3:C2:D326．双曲线22221xyab的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为():A2:B52:C512:D37．P是双曲线221xy上一点，则P到两条渐近线的距离的积为_______8．双曲线22221xyab的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为．9．已知双曲线22212xya的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为10．已知双曲线2214xyk的离心率为2e，则k的范围为____________________11．若双曲线22221xyab的一条渐近线的倾斜角为π02，其离心率为．[来源:学科12.方程22122xymm表示双曲线，则m的取值范围（）:A22m:B0m:C0m:D2m13.椭圆222134xyn和双曲线222116xyn有相同的焦点，则实数n的值是（）:A5:B3:C25:D914．曲线221(6)106xymmm与曲线221(59)59xymmm的（）5:A焦距相等:B离心率相等:C焦点相同:D准线相同15．已知椭圆2222135xymn和双曲线2222123xymn有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_____16.已知方程22(0)axbybab，则此曲线是（）:A焦点在x轴上的双曲线:B焦点在y轴上的双曲线:C焦点在x轴上的椭圆:D焦点在y轴上的椭圆三.求双曲线方程1.已知圆49)5(:221yxC与圆1)5(:222yxC，圆C与圆1C，圆2C均外切；则圆C的圆心C的轨迹方程是2．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)，，，，且经过点(215)，，则双曲线的标准方程为．3．与曲线1492422yx共焦点，而与1643622yx共渐近线的双曲线方程为():A191622xy:B191622yx:C116922xy:D116922yx4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是___________.5.已知双曲线通过(1,1),(2,5)MN两点，求双曲线的标准方程.6.（1）设P是双曲线2214xy-=上的动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，求点M的轨迹方程.四.直线与双曲线1．直线2kxy与6322yx的右支交于两点；求实数k的取值范围。2．过原点的直线l与双曲线221yx有两个交点，则直线l的斜率的取值范围为_____________3．双曲线122yx的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（）A．（-∞，0]∪[1，+∞）B．（-∞，0）∪（1，+∞）C．（-∞，-1）∪[1，+∞）D．（-∞，-1）∪（1，+∞）4．已知双曲线22213yxa的焦点为1F，2F，离心率为2.（1）求此双曲线渐近线1L,2L方程；（2）若BA,分别为1L,2L上的动点,且2152FFAB；求线段AB中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。一.定义的应用1.221(3)169xyy≤2．D3.B4．5.325.76.2214xy7．C8．229．51610.21511.ma12．C13.a二双曲线的几何性质61．A2．-2[来源:学科网ZXXK]3.53或544．B5．C6．C7．218.29．31010.120k11.1cos12．A13．B14．A15.34xy16.B三.求双曲线方程1．)3(116922xyx2.2213yx3．A4．116922yx5．设双曲线C方程为)0(122mnnymx由题意得717812541nmnmnm双曲线的标准方程为177822yx6．解：设),(00yxP及),(yxM则142020yx（1）M为线段OP中点yyxx2,200代入（1）得1422yx，点M的轨迹方程为1422yx四.直线与双曲线1．解01812)13(632222kxxkyxkxy两不同根为21,xx3310130120)1(720000022212121kkkkxxxxxx2.(1)(1)，，∞∞3．B利用数形结合，结合渐近线可求得.4．解:（1）由已知得2232aa,所以21a,所以双曲线方程为2213xy,所以双曲线的渐近线方程分别33xy,33xy（2）由（1）知1(0,2)F,2(0,2)F,因为122||5||ABFF,所以10AB,设113(,)3Axx,223(,)3Bxx,AB中点),(yxM则122xxx,1233233xxy,10AB22212133()()1033xxxx,消去12,xx并整理得:点M的轨迹方程为22125753xy,所以点M轨迹是焦点在x轴上的椭圆.