导数题型分类大全

第1页共15页导数题型分类（A）题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则（一）导数的定义：函数)(xfy在0x处的瞬时变化率xxfxxfxyoxx)()(limlim000称为函数)(xfy在0xx处的导数，记作)(0/xf或0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf＝/y＝xxfxxfx)()(lim0导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(xfy在0x处的导数0/xxy，就是导函数)(/xf在0x处的函数值，即0/xxy＝)(0/xf。例1.函数axxfy在处的导数为A，求ttaftaft54lim0。例2．2333xyxx求在点处的导数。（二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则：NnnxxCCnn,)(;)(01''为常数；;sin)(cos;cos)(sin''xxxxaaaeexxxxln)(;)(''；exxxxaalog1)(log;1)(ln''法则1：)()()]()(['''xvxuxvxu法则2：)()()()()]()(['''xvxuxvxuxvxu法则3：)0)(()()()()()(])()([2'''xvxvxvxuxvxuxvxu（理）复合函数的求导：若(),()yfuux，则'()'()xyfxx如，sin()'xe_______________;(sin)'xe_____________公式1/)(nnnxx的特例：①)x(______;②x1_______,③)x(_________.题型二：利用导数几何意义及求切线方程导数的几何意义：函数)(xfy在0x处的导数是曲线)(xfy上点()(,00xfx)处的切线的斜率.因此，如果)(0xf存在，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为______________________第2页共15页例1．若函数()fx满足，321()(1),3fxxfxx则(1)f的值例2．设曲线axye在点(0,1)处的切线与直线210xy垂直，则a．练习题1．曲线34yxx在点1,3处的切线方程是2yx2．若曲线xxxf4)(在P点处的切线平行于直线03yx，则P点的坐标为（1，0）3．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为430xy4．求下列直线的方程：（注意解的个数）（1）曲线123xxy在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy过点P(3,5)的切线；解：（1）123|yk231)1,1(1x/2/23－上，在曲线点－xxyxxyP所以切线方程为0211yxxy即，（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00yxA，则200xy①又函数的导数为xy2/，所以过),(00yxA点的切线的斜率为0/2|0xykxx，又切线过),(00yxA、P(3,5)点，所以有352000xyx②，由①②联立方程组得，255110000yxyx或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201xk；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202xk；所以所求的切线有两条，方程分别为251012)5(1025)1(21xyxyxyxy或即，或5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－12]B．[－1,0]C．[0,1]D．[12，1]6.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A.y=sinxB.xyxeC.3yxxD.y=ln(1+x)—x7.设f(x),g(x)是R上的可导函数，(),()fxgx分别为f(x),g(x)的导数，且()()()()0fxgxfxgx，则当axb时，有（）A.f(x)g(b)f(b)g(x)B.f(x)g(x)f(b)g(b)C.f(x)g(a)f(a)g(x)D.f(x)g(x)f(b)g(a)第3页共15页题型三：利用导数研究函数的单调性1.设函数)(xfy在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(xfy在这个区间内单调递增；如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(xfy是这个区间内单调递减.2.求函数的单调区间的方法：（1）求导数)x(fy；（2）解方程0)x(f；（3）使不等式0)x(f成立的区间就是递增区间，使0)x(f成立的区间就是递减区间3.若函数)(xfy在区间(,)ab上单调递增，则'()__0fx在(,)ab恒成立.例：1.函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（）（A）(2，23)（B）(，2)（C）(23，25)（D）(2，3)2.函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是_________________.3.已知函数()1xfxeax在R上单调递增,则a的取值范围是________.题型四：利用导数研究函数的极值、最值。1．32()32fxxx在区间1,1上的最大值是22．已知函数2)()(2xcxxxfy在处有极大值，则常数c＝6；3．函数331xxy有极小值－1,极大值34．已知函数f(x)的导函数()fx的图象如右图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是()5.已知函数32()(6)1fxxaxax有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A.-1＜a＜2B.a＜-3或a＞6C.-3＜a＜6D.a＜-1或a＞2作业和练习：1.已知函数2()2fxxaxa在区间（－∞，1）上有最小值，则函数()()fxgxx在区间（1，+∞）上一定（）A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数2．已知函数32()3fxaxbxx在1x处取得极值，求过点A(0，16)作曲线y=f(x)的切线，求该切线的方程.yxO12-2AyxO12-2ByxO12-2CyxO12-2DyxO12-1()fx第4页共15页3．已知函数()lnfxxx（1）求f(x)的最小值（2）若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求a的取值范围.4．已知函数21()ln,2fxxxa其中a为大于零的常数.（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值（2）当[1,2]x时，不等式()2fx恒成立，求a的取值范围.5．已知函数))1(,1()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的切线方程为y=3x+1（Ⅰ）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(xfy在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函数)(xfy在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围第5页共15页解：（1）由.23)(,)(223baxxxfcbxaxxxf求导数得过))1(,1()(fPxfy上点的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(xbacbayxffy即而过.13)]1(,1[)(xyfPxfy的切线方程为上故3023323cabacaba即∵124,0)2(,2)(bafxxfy故时有极值在③由①②③得a=2，b=－4，c=5∴.542)(23xxxxf（2）).2)(23(443)(2xxxxxf当;0)(,322;0)(,23xfxxfx时当时13)2()(.0)(,132fxfxfx极大时当又)(,4)1(xff在[－3，1]上最大值是13。（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又,23)(2baxxxf由①知2a+b=0。依题意)(xf在[－2，1]上恒有)(xf≥0，即.032bbxx①当6,03)1()(,16minbbbfxfbx时；②当bbbfxfbx,0212)2()(,26min时；③当.60,01212)(,1622minbbbxfb则时综上所述，参数b的取值范围是),0[6．已知三次函数32()fxxaxbxc在1x和1x时取极值，且(2)4f．(1)求函数()yfx的表达式；①②第6页共15页(2)求函数()yfx的单调区间和极值；(3)若函数()()4(0)gxfxmmm在区间[3,]mn上的值域为[4,16]，试求m、n应满足的条件．解：(1)2()32fxxaxb，由题意得，1,1是2320xaxb的两个根，解得，0,3ab．再由(2)4f可得2c．∴3()32fxxx．(2)2()333(1)(1)fxxxx，当1x时，()0fx；当1x时，()0fx；当11x时，()0fx；当1x时，()0fx；当1x时，()0fx．∴函数()fx在区间(,1]上是增函数；在区间[1,]１上是减函数；在区间[1,)上是增函数．函数()fx的极大值是(1)0f，极小值是(1)4f．(3)函数()gx的图象是由()fx的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的，所以，函数()fx在区间[3,]nm上的值域为[44,164]mm（0m）．而(3)20f，∴4420m，即4m．于是，函数()fx在区间[3,4]n上的值域为[20,0]．令()0fx得1x或2x．由()fx的单调性知，142n剟，即36n剟．综上所述，m、n应满足的条件是：4m，且36n剟．7．已知函数()lnfxxax，1(),(R).agxax（Ⅱ）设函数()()()hxfxgx，求函数()hx的单调区间；(Ⅲ)若在1,e上存在一点0x，使得0()fx0()gx成立，求a的取值范围第7页共15页8．设函数()()()fxxxaxb．（1）若()fx的图象与直线580xy相切，切点横坐标为２，且()fx在1x处取极值，求实数,ab的值；（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数()fx总有两个不同的极值点．解：（1）2()32().fxxabxab由题意(2)5,(1)0ff，代入上式，解之得：a=1，b=1．第8页共15页（2）当b=1时，()0fx令得方程232(1)0.xaxa因,0)1(42aa故方程有两个不同实根21,xx．不妨设21xx，由))((3)(21'xxxxxf可判断)('xf的符号如下：当时，1xx)('xf＞０；当时，21xxx)('xf＜０；当时，2xx)('xf＞０因此1x是极大值点，2x是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数()fx总有两个不同的极值点。题型五：利用导数研究函数的图象1．如右图：是f（x）的导函数，)(/xf的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）2．函数的图像为14313xxy(A)3．方程内根的个数为在)2,0(076223xx(B)A、0B、1C、2D、3※