2012年全国高考1卷理科数学试题及答案

第1页共13页2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合{1,2,3,4,5}A，{(,)|,,}BxyxAyAxyA，则B中所含元素的个数为（A）3（B）6（C）8（D）10（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（A）12种（B）10种（C）9种（D）8种（3）下面是关于复数21zi的四个命题1p：||2z2p:22zi3p:z的共轭复数为1i4p：z的虚部为1其中真命题为(A)2p,3p（B）1p,2p（C）2p，4p（D）3p,4p（4）设12,FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上的一点，21FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为(A)12(B)23(C)34(D)45（5）已知{}na为等比数列，472aa，568aa，则110aa(A)7(B)5(C)5(D)7（6）如果执行右边的程序图，输入正整数(2)NN和实数12,,...,Naaa输入,AB,则(A)AB为12,,...,Naaa的和（B）2AB为12,,...,Naaa的算式平均数（C）A和B分别是12,,...,Naaa中最大的数和最小的数第2页共13页（D）A和B分别是12,,...,Naaa中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6(B)9（C）12（D）18（8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线216yx的准线交于,AB两点，||43AB，则C的实轴长为（A）2（B）22（C）4（D）8（9）已知0，函数()sin()4fxx在,2单调递减，则的取值范围(A)15[,]24(B)13[,]24(C)1(0,]2(D)(0,2]（10）已知函数1()ln(1)fxxx，则()yfx的图像大致为（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且2SC，则此棱锥的体积为(A)26(B)36(C)23(D)22（12）设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则||PQ的最小值为(A)1ln2(B)2(1ln2)(C)1ln2(D)2(1ln2)第3页共13页第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）已知向量,ab夹角为45°，且||1,|2|10aab，则b____________.（14）设,xy满足约束条件1,3,0,0,xyxyxy则2zxy的取值范围为__________.（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.(16)数列na满足1(1)21nnnaan，则na的前60项和为________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知,,abc分别为ABC的三个内角,,ABC的对边，cos3sin0aCaCbc.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若2a，ABC的面积为3，求,bc.（18）（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式;（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920第4页共13页频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，1DCBD。（1）证明：1DCBC；（2）求二面角11ABDC的大小.（20）（本小题满分12分）设抛物线22(0)Cxpyp：的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于,BD两点.（1）若90BFD，ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；（2）若,,ABF三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C之有一个公共点，求坐标原点到,mn距离的比值.（21）（本小题满分12分）已知函数()fx满足121()(1)(0)2xfxfefxx.（1）求()fx的解析式及单调区间；（2）若21()2fxxaxb，求(1)ab的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲如图，,DE分别为ABC边,ABAC的中点，直线DE交ABC的外接圆于,FG两点，若//CFAB，证明：（Ⅰ）CDBC；GFEDCBAB1C1A1DCAB第5页共13页（Ⅱ）BCDGBD∽（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程式2cos3sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的极坐标方程式2.正方形ABCD的顶点都在2C上，且,,,ABCD依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为2,2.（Ⅰ）求点,,,ABCD的直角坐标；（Ⅱ）设P为1C上任意一点，求2222||||||||PAPBPCPD的取值范围.（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲已知函数()|||2|fxxax（Ⅰ）当3a时，求不等式()3fx的解集；（2）若()|4|fxx的解集包含[1,2]求a的取值范围.第6页共13页2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）【解析】选D5,1,2,3,4xy，4,1,2,3xy，3,1,2xy，2,1xy共10个（2）【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412CC种（3）【解析】选C22(1)11(1)(1)iziiii1:2pz，22:2pzi，3:pz的共轭复数为1i，4:pz的虚部为1（4）【解析】选C21FPF是底角为30的等腰三角形221332()224cPFFFaccea（5）【解析】选D472aa，56474784,2aaaaaa或472,4aa471101104,28,17aaaaaa471011102,48,17aaaaaa（6）【解析】选C（7）【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3此几何体的体积为11633932V（8）【解析】选C设222:(0)Cxyaa交xy162的准线:4lx于(4,23)A(4,23)B得：222(4)(23)4224aaa（9）【解析】选A592()[,]444x不合题意排除()D351()[,]444x合题意排除()()BC第7页共13页另：()22，3()[,][,]424422x得：315,2424224（10）【解析】选B()ln(1)()1()010,()00()(0)0xgxxxgxxgxxgxxgxg得：0x或10x均有()0fx排除,,ACD（11）【解析】选AABC的外接圆的半径33r，点O到面ABC的距离2263dRrSC为球O的直径点S到面ABC的距离为2623d此棱锥的体积为113262233436ABCVSd另：13236ABCVSR排除,,BCD（12）【解析】选A函数12xye与函数ln(2)yx互为反函数，图象关于yx对称函数12xye上的点1(,)2xPxe到直线yx的距离为122xexd设函数minmin111ln2()()1()1ln2222xxgxexgxegxd由图象关于yx对称得：PQ最小值为min22(1ln2)d二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）【解析】_____b3222210(2)1044cos451032ababbbb(14)【解析】2zxy的取值范围为[3,3]第8页共13页约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)OABC则2[3,3]zxy（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4Pp那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138ppp（16）【解析】{}na的前60项和为1830可证明：14142434443424241616nnnnnnnnnnbaaaaaaaab112341515141010151618302baaaaS三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）【解析】（1）由正弦定理得：cos3sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBCsincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA（2）1sin342SbcAbc2222cos4abcbcAbc解得：2bc（lfxlby）18.【解析】（1）当16n时，16(105)80y当15n时，55(16)1080ynnn得：1080(15)()80(16)nnynNn（2）（i）X可取60，70，80第9页共13页(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7PXPXPXX的分布列为X607080P0.10.20.7600.1700.2800.776EX222160.160.240.744DX（ii）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y76.476得：应购进17枝（19）【解析】（1）在RtDAC中，ADAC得：45ADC同理：1114590ADCCDC得：111,DCDCDCBDDC面1BCDDCBC（2）11,DCBCCCBCBC面11