北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)

课程编号：MTH17060北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级泛函分析试题（A卷）一、（10分）设T是赋范线性空间X到自身的线性映射。证明以下三条等价：（1）T连续；（2）T在零点连续；（3）T有界。二、（10分）设H是Hilbert空间。证明：（1）若nxx，则对于任意固定的yH，,,nxyxy；（2）若nxx，nyy，则,,nnxyxy。三、（10分）设H是Hilbert空间，ABH且存在0m使得2,,xHAxxmx，证明：存在1ABH。四、（10分）设H是Hilbert空间，M是H的线性子空间。证明：M在H中稠密的充分必要条件是M。注：M仅为H的子集时充分性不成立，试举反例五、（15分）设0,1C为区间0,1上连续函数的全体，对于0,1fC，令0,1maxxffx。证明：（1）0,1C是完备的赋范线性空间，即Banach空间；（2）对于0,1t，令tFfft，则tF是0,1C上线性有界泛函，求tF。六、（15分）设2,0,1,1,2,kffLk，且,..0,1kffae。证明：limkkff当且仅当lim0kkff，其中12220,1,0,1ffxdxfL。七、（15分）设12,ff是Hilbert空间H上的线性无关的线性有界泛函，12kerkerMff。证明：（1）M是闭的线性子空间；（2）存在12,yyH使得对于xH，有01122xxyy，其中0x为x在M上的正交投影，12,。（附加：试证明在题设条件下此分解式唯一。）八、（15分）在0,1C上分别令1100,1max,txxtxxtdt，其中0,1xC。（1）分别证明和1是0,1C上的范数；（2）比较这两种范数的强弱；（3）它们是否等价？给出理由。（要求使用两种方法）注：2010级为闭卷课程编号：MTH17060北京理工大学2013-2014学年第一学期2011级泛函分析试题（A卷）一、（1）给出赋范线性空间的定义，证明范数是连续的一元函数；（2）给出距离空间的定义，证明距离是连续的二元函数；（3）证明赋范线性空间构成距离空间；（4）距离空间是否为赋范线性空间？举出反例或给出证明。（试举两类反例）二、设B是Banach空间，f是B上的线性泛函。证明以下五条等价：（1）f连续；（2）f在某点连续；（3）f在零点连续；（4）f有界；（5）kerf是闭线性子空间。（比较条件（2）与条件（2’）：f在任意某点连续的区别！）三、设X,Y均为内积空间，,BXY为X到Y的线性有界算子全体，对于,TBXY，令1supxTTx。证明：（1）,BXY是赋范线性空间；（2）若Y完备，则,BXY完备。四、设,0,11,,1,2,pnfLpfn，证明：pLnff当且仅当以下条件成立：（1）nppff；（2）mnff注：p时充分性不成立，试举反例。五、考虑实Hilbert空间20,1L，设220,1,0,1gLfL，定义20,1L上的泛函为0,1Fffxgxdx，证明F是线性连续泛函，并求F。六、设,nnef是Hilbert空间H中的两个标准正交集，满足条件211nnnef。求证：两者中一个完备蕴含另一个完备。七、设H是Hilbert空间，ABH且存在0m使得2,,xHAxxmx，证明：（1）A是单射；（2）A是满射；（3）判断1A是否有界？并给出理由。注：2011级为半开卷另注：2012级为闭卷课程编号：MTH17060北京理工大学2015-2016学年第一学期2013级泛函分析试题（B卷）一、（30分）考虑二维平面2，对于212,xxx，定义121xxx。（1）证明21,是赋范线性空间；（2）证明21,是Banach空间；（3）画出2中单位圆211xx的图形；（4）21,是否为内积空间？请说明理由；（（2）（5）问请各用两种方法证明！）（5）在2中定义另一种范数22122xxx，问：在2上1和2是否等价？（6）令11122122aaaaA，其中11122122,,,aaaa，则A是21,上的线性变换，证明：A是线性有界算子，并求A。二、（10分）设X和Y是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，证明以下两条等价：（1）T连续（2）T有界三、（10分）设nf和ng是20,1L上的标准正交系，若它们满足210,11nnnfxgxdx，证明：nf是20,1L上的标准正交基的充分必要条件是ng是20,1L上的标准正交基。四、（因课时充足新加的内容）（10分）设A是无穷维Hilbert空间H上的紧算子，证明：（1）A是H上的线性有界算子；（2）A不存在有界逆。（试各用两种方法证明！）五、（10分）设X是Banach空间，f是X上线性泛函，证明f有界的充分必要条件是kerf是X的闭线性子空间。六、（10分）设1,,nxx是赋范线性空间X中的线性无关元，证明*,1,,ifXin，使得,,1,,ijijfxijn。（试用两种方法证明！）七、（20分）（1）给定函数0,1yC，常数满足11e，考虑积分方程：0,0,1ttsxtexsdsytt，证明此方程在0,1C中有唯一解；（2）对于0,1,0,1tfC，令tFfft，证明tF是0,1C上有界线性泛函，并求其算子范数。（若将（1）的条件改为1，能否得出结论）注：2013级为闭卷课程编号：MTH17179北京理工大学2016-2017学年第一学期2014级泛函分析试题（A卷）一、（20分）设B是Banach空间，f是B上的线性泛函。证明以下四条等价：（1）f连续；（2）f在零点连续；（3）f有界；（4）kerf是闭线性子空间。二、（50分，1-6小题每题5分，7、8小题每题10分）设0,1C为区间0,1上连续函数的全体。对于,0,1fgC，在其上定义0,10,1,max,maxttdfgftgtfft。（1）证明0,1,Cd为度量空间；（2）证明0,1,Cd中的度量收敛性等价于一致收敛；（3）证明0,1,Cd完备；（4）证明0,1,C为赋范线性空间；（5）可以是由内积引出的吗？（6）0,1,C中的单位球面是紧的吗？（7）对于0,1fC，定义110fftdt。问1和的强弱关系，它们等价吗？（8）0,1t，定义:Ftft，证明F是0,1,C上有界线性泛函，并求F。三、（10分）设,,1,1,2,pnffLEpn，证明：pLnff的充分条件为：（1）nff..aeE；（2）nppff。考试时当场否定了必要性，理由何在？四、（10分）设,nnef是Hilbert空间H中的两个标准正交集，满足条件211nnnef。求证：两者中一个完备蕴含另一个完备。五、（10分）设1,,nxx是赋范线性空间X中的线性无关元，证明*,1,,ifXin，使得,,1,,ijijfxijn。（试用两种方法证明！）注：2014级为闭卷