人教A版数学第一章第一节集合与常用逻辑用语.ppt

第一章集合与常用逻辑用语[必修①第一章，选修2－1第一章](理)[必修①第一章，选修1－1第一章](文)第一章集合与常用逻辑用语第一节集合第一章集合与常用逻辑用语一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：、、．2．集合中元素与集合的关系．元素与集合之间的关系有和两种，表示符号为和.3．常见集合的符号表示.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示4.集合的表示法：、、．确定性互异性无序性属于不属于∈∉NN*或N＋ZQR列举法描述法Venn图法第一章集合与常用逻辑用语二、集合间的基本关系定义记法集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同子集A中任意一元素均为B中的元素或真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有空集空集是任何集合的子集空集是任何的真子集关系表示或非空集合A＝BA⊆BB⊇A(B≠∅)第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集为图形表示意义A∪BA∩B{x|x∈A或x∈B}且x∈B}{x|x∈A{x|x∈U且x∉A}第一章集合与常用逻辑用语1．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是()第一章集合与常用逻辑用语2．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝()A．{0}B．{0,1}C．{1,2}D．{0,2}【解析】∵M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，∴N＝{0,2,4}，∴M∩N＝{0,2}．【答案】D3．(2011年高考安徽卷，2)集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(∁UT)等于()A．{1,4,5,6}B．{1,5}C．{4}D．{1,2,3,4,5}【解析】S∩(∁UT)＝{1,4,5}∩{1,5,6}＝{1,5}．【答案】B第一章集合与常用逻辑用语4.设集合A＝{5，log2(a＋3)}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝______.【解析】∵A∩B＝{2}，∴log2(a＋3)＝2.∴a＝1，b＝2.∴A＝{5,2}，B＝{1,2}．∴A∪B＝{1,2,5}．【答案】{1,2,5}5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是_____．【解析】借助数轴可知a≤1，如图所示．【答案】a≤1第一章集合与常用逻辑用语考点一集合的基本概念1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元素的性质．如集合{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．在数集{2x，x2－x}中，实数x的取值范围是______．【自主解答】实数x的取值满足集合元素的互异性，则2x≠x2－x，解得x≠0且x≠3，∴实数x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜3或x＞3}．【答案】{x|x＜0或0＜x＜3或x＞3}第一章集合与常用逻辑用语1．设a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，则b－a等于()A．1B．－1C．2D．－2【自主解答】∵{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，∴a≠0，∴a＋b＝0，∴ba＝－1，∴a＝－1，b＝1，∴b－a＝2.【答案】C考点二集合间的基本关系1．子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.第一章集合与常用逻辑用语2．判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析．应做到意义化(分清集合的种类，数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等)、具体化(具体求出相关的集合并化简)、直观化(借助数轴、Venn图、函数图象等，即数形结合的思想)．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．(1)若AB，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．【思路点拨】解决本题的关键是将B集合化简，即因式分解，再根据A，B间的关系求解．第一章集合与常用逻辑用语【自主解答】由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，则(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a＞2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.(3)若A＝B，则必有a＝2.第一章集合与常用逻辑用语2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－5≤x≤2m－1}，求实数m的值．【自主解答】(1)由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A.②若B≠∅，第一章集合与常用逻辑用语则m＋1≤2m－1m＋1≥－22m－1≤5解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．(2)若A⊆B，则依题意应有2m－1＞m－6m－6≤－22m－1≥5.解得m＞－5m≤4m≥3，故3≤m≤4，∴m的取值范围是[3,4]．(3)若A＝B，则必有m－5＝－22m－1＝5，解得m＝3.即m＝3时A＝B.第一章集合与常用逻辑用语考点三集合的基本运算在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．(12分)已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5}，B＝{x|－12＜x≤2}．(1)若A∩B＝A，求实数a的取值范围；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；(3)A，B能否相等？若能，求出实数a的值；若不能，请说明理由．【思路点拨】利用集合A，B的关系，借助数轴，列出关于a的不等式组求解．【规范解答】(1)∵A∩B＝A，∴A⊆B．①当a＝0时，若A⊆B，则此种情况不存在．(1分)②当a＜0时，若A⊆B，则4a＞－12，－1a≤2，第一章集合与常用逻辑用语∴a＜－8，a≤－12，∴a＜－8.③当a＞0时，若A⊆B，则－1a≥－12，4a≤2，(1分)∴a≥2，a≥2，∴a≥2.第一章集合与常用逻辑用语(5分)综上知，当A⊆B时，实数a的取值范围是{a|a＜－8或a≥2}．(5分)(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.①当a＝0时，显然B⊆A.(6分)②当a＜0时，若B⊆A，则4a≤－12，－1a＞2，∴a≥－8，a＞－12，∴－12a＜0.第一章集合与常用逻辑用语(8分)③当a＞0时，若B⊆A，则－1a≤－12，4a≥2，∴a≤2，a≤2，∴0＜a≤2.第一章集合与常用逻辑用语综上知，当A⊆B时，实数a的取值范围是{a|－12＜a≤2}．(10分)(4)当且仅当A，B两个集合互相包含时，A＝B，由(1)(2)知此时a＝2.(12分)第一章集合与常用逻辑用语3．已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)＜0}．(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(3)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的取值范围．【解析】∵A＝{x|x2－6x＋8＜0}，∴A＝{x|2＜x＜4}．(1)当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，应满足a≤23a≥4⇒43≤a≤2.当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，应满足3a≤2a≥4⇒a∈∅.当a＝0时B＝∅，不适合A⊆B.∴当A⊆B时，43≤a≤2.第一章集合与常用逻辑用语(2)要满足A∩B＝∅，当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a}，a≥4或3a≤2，∴0＜a≤23或a≥4；当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a}，∵a＜0＜2，∴a＜0时成立，验证知当a＝0时也成立．综上所述，当a≤23或a≥4时，A∩B＝∅.(3)要满足A∩B＝{x|3＜x＜4}，显然a＞0且a＝3时成立．∵此时B＝{x|3＜x＜9}，而A∩B＝{x|3＜x＜4}，故所求a的值为3.第一章集合与常用逻辑用语一、选择题1．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝()A．{x|x＜－5或x＞－3}B．{x|－5＜x＜5}C．{x|－3＜x＜5}D．{x|x＜－3或x＞5}【解析】由题意画出图形．可知，M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．【答案】A第一章集合与常用逻辑用语2．设全集I＝{1,2a－4，a2－a－3}，A＝{a－1,1}，∁IA＝{3}，则a的值为()A．－2B．3C．－2或3D.72【解析】2a－4＝a－1a2－a－3＝3或2a－4＝3，a2－a－3＝a－1，得a＝3.【答案】B3．(2011年高考广东卷，2)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】由x2＋y2＝1x＝y，得2x2＝1，解得x＝22或x＝－22，这时y＝22或y＝－22，即A∩B中有两个元素．【答案】B第一章集合与常用逻辑用语4.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x＜1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}【解析】图中阴影部分表示N∩(∁UM)，∵M＝{|x2＞4}＝{x|x＞2或x＜－2}∴∁UM＝{x|－2≤x≤2}，∴N∩(∁UM)＝{－2≤x＜1}．【答案】A第一章集合与常用逻辑用语5．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，若BA，则实数m的取值集合M是()A．{－12，0，13}B．{0,1}C．{－12，13}D．{0}【解析】由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3，∴A＝{2，－3}．又∵BA，∴当m＝0时，B＝∅，满足条件；当m≠0时，B＝{－1m}，∴－1m＝2或－1m＝－3，即m＝－12或m＝13.【答案】A第一章集合与常用逻辑用语二、填空题6．(2011年高考天津卷)已知集合A＝{x∈R||x－1|＜2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于________．【解析】A＝{x|－1＜x＜3}，A∩Z＝{0,1,2}，A∩Z中所有元素之和等于3.【答案】37．非空集合G关于运算⊕满足：(1)对任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法．②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法．③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法．④G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法．⑤G＝{虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是________(写出所有“融洽集”的序号)．【解析】②错，不满足条件(2)；④错，不满足条件(1)，如a＝x2＋y2，b＝－x2－y2；⑤错，不满足条件(1)，如a＝3i，b＝4i.【答案】①③第一章集合与常用逻辑用语三、解答题8．已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．(1)9∈A∩B；(2){9}＝A∩B.【解析】9∈A∩B与{9}＝A∩B意义不同，9∈A