2.1等式性质与不等式性质

一、新课引入现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，例如多与少、大与小、长与短、不超过或不少于…，类似这样的问题，反映在数量关系上，就是相等不相等.1.今天的天气预报说：明天早晨最低温度为11℃，明天白天的最高温度为18℃；2.三角形ABC的两边之和大于第三边；3.a是一个非负实数．11≤t≤18AB+ACBC或…a≥0问题你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？4.右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式是：_________405.某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：0v≤40%3.2%5.2pf6.设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与|AB|的大小关系怎样表示？d≤|AB|ABd练习：用不等式表示下面的不等关系：1.a与b的和是非负数；2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”想一想,你还能举出哪些相似的例子?a+b≥00h≤4二用不等式来解决生活中的不等关系问题：例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少：万本，2.01.05.2x因此，销售总收入为：xx)2.01.05.28(用不等式表示为：20)2.01.05.28(xx在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有以下三种：（1）点A和点B重合；（2）点A在点B的右侧；（3）点A在点B的左侧．在这三种位置关系中，有且仅有一种成立。a=bA(B)a(b)AABBaabbabab如果a－b是正数，则ab；如果ab，则a－b为正数；如果a－b是负数，则ab；如果ab，则a－b为负数；如果a－b等于零，则a=b；如果a=b，则a－b等于零．上述结论可以写成：0abab0abab0abab关于实数a，b大小的比较，有以下基本实数：判断两个实数大小的依据是：作差比较法这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.0abab0abab0abab例1．比较x2－x与x－2的大小．解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2=(x－1)2+1，因为(x－1)2≥0，所以(x2－x)－(x－2)0，因此x2－xx－2.例2比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．解:∵(3)(5)(2)(4)aaaa22(215)(28)7aaaa∴(3)(5)(2)(4)aaaa0∴(3)(5)(2)(4)aaaa性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性．性质1如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.abbacacbba，（传递性）这个性质也可以表示为cb，ba，则ca.这个性质是不等式的传递性．性质2如果ab，bc，那么ac.性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.a+bca+b+(－b)c+(－b)ac－b.结论：不等式中的任何一项都可以改变符号后移到不等式另一边（移项法则）性质3：如果ab，则a+cb+c.性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc.性质5：如果ab，cd，则a+cb+d.几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.性质6：如果ab0，cd0，则acbd.几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向.性质7：性质7说明,当不等式两边都是正数时,不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.0,,(,2)nnabbnNn如果那么a性质8：0,,(,2)nnababnNn如果那么性质8说明,当不等式的两边都是正数时,不等式两边同时开方所得不等式与原不等式同向.以上这些关于不等式的事实和性质是解决不等式问题的基本依据例3已知ab0,c0,求证:.acbc＞证明：因为ab0,于是,11abbaba即.11ab由c0,得,acbc.bcac即所以ab0,ab10.思考？能否用作差法证明？小结1.用不等式表示不等关系是一种数学建模，准确理解题意，设定字母表示相关数量，是正确建模的关键.对具有多个不等关系的实际问题，要用不等式组来表示.2.两个实数的差的符号能反映这两个实数的大小关系，这是确定两个实数大小关系的基本原理，同时也是发掘不等式性质的理论依据.3.用“作差法”比较两个实数的大小，一般分三步进行：作差→变形→判断符号.其中变形的目的在于判断差式的符号，常用的变形技巧有因式分解、配方等.