探求双赢决策——人力资源优化配置的数学模型

1探求双赢决策——人力资源优化配置的数学模型方林锋胡依娜马莉董克思卓亚佳林聪萍(浙江师范大学浙江金华321004)摘要：合理的人力资源的配置能使人尽其才,提高人力资源生产率,能昀大限度地为企业创造更多的经济效益与社会效益。本文以浙江师范大学第三届数学建模竞赛A题人力资源管理问题为背景：一家公司承接4个不同项目，各项目对各相关技术人员人数有不同的要求，各技术人员的工资和对公司的创收也不同。要求符合项目合同要求的前提下，寻求一个充分利用现有技术力量使公司收益昀大的分配方案。本文在保证企业经济收益的条件下，尽量挖掘隐性收益，寻求企业与客户双赢的人员分配方案。我们根据不同的假设建立两个模型。在求解模型的过程中，限制纯收益差额，从模型一求出的分配方案出发，并用逐步固定一些人员分配的方法，借助matlab编程，求得符合限制条件的所有可行解。站在公司的角度，本文对数据进行灵敏度分析，即讨论在收费标准不变的情况下技术人员结构对公司收益的影响以及在技术人员结构不变的情况下收费标准对公司收益的影响，并且进一步分析在怎样的范围内昀优解保持不变，并联系社会实际进行了一定的分析。昀后在适当简化模型的同时，对模型进行了改进和推广，预示了高素质人才在现代社会中将发挥着越来越重要的作用。关键字：人力资源安排纯收益与隐性收益客户满意程度文章号：TS200501007一、问题背景（略）二、问题分析本题是人员安排中的整数规划问题，合理的规划会给企业和客户带来短期和长期的经济利益。如果仅仅考虑公司的纯经济收益，可以根据约束条件，算出昀优的人员安排。但是在实际工作中要考虑工程质量，客户的满意程度等隐性收益。质量保证了企业的未来。现代的企业只有追求企业客户双赢才能在市场上站立得更加坚挺，更加持久！在本题中根据不同项目和各种人员的收费标准，我们很容易看出对公司收益起决定作用的是高级工程师人员的合理分配（文章昀后也验证了这一点），而公司的高级工程师人员有限。另外，考虑到工程的质量问题，各项目对专业技术人员结构有一定的要求，这些使公司的收益受到一定程度的限制。因此我们根据不同的假设建立两个模型，并给出参考方案。表1表2表3给出了需要的原始数据：表1公司的人员结构及工资情况高级工程师工程师助理工程师技术员人数日工资（元）9250172001017051102表2不同项目和各种人员的收费标准高级工程师工程师助理工程师技术员收费（元/天）ABCD1000150013001000800800900800600700700700500600400500表3：各项目对专业技术人员结构的要求ABCD高级工程师工程师助理工程师技术员总计1～3≥2≥2≥1≤102～5≥2≥2≥3≤162≥2≥2≥1≤111～22～8≥1--≤18三、模型假设和建立（一）、模型一：简单模型1.模型假设（1）公司人员都能正常上班，服从组织安排（2）忽略同一级别的人员之间工作能力的差异（3）每个人员都只做一个项目，并且都能胜任这4个项目的工作（4）忽略4个项目的开始和结束时间的差异（5）忽略人员结构对工程质量的影响（6）公司的收益只考虑纯经济收益，忽略客户满意程度等的隐性收益（7）公司收益中忽略员工奖金的支出2、模型符号约定：Xi：高级工程师参加i项目的人数(如，i=1时表示参加A项目的高级工程师人数，依次类推。)；Yi：工程师参加i项目的人数（同上）；Zi：助理工程师参加项目i的人数（同上）；Di：技术员参加项目i的人数（同上）；A：项目客户对员工的总支出；B：项目客户对员工的总支出；C：项目客户对员工的总支出；D：项目客户对员工的总支出；I：每天公司的经济收益；a：每天每人办公室开销；目标函数f：公司每日的收益。3、建立模型收入：每天公司的经济纯收入Q=各个项目对各人员的收费的总和，即Q=A+B+C+D每天各项目对人员的收费=各人员个数*各人员每天的收费由题意得A=1000*X1+800*Y1+600*Z1+500*D1B=1500*X2+800*Y2+700*Z2+600*D2C=1300*X3+900*Y3+700*Z3+400*D3D=1000*X4+800*Y4+700*Z4+500*D43支出：支出a=50员工的工资的支出1+L办公室管理费支出2L每天员工的工资支出为1=250*9+17*200+10*170+5*110=7900L元/天办公支出2=a*(X3+Y3+Z3+d3+X4+Y4+Z4+D4)La=50元/天公司每一天的总收益为项目=收入—支出，即f(X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4,Z1,Z2,Z3,D1.D2,D3,D4)=750*X1+600*Y1+430*Z1+390*D1+1250*X2+600*Y2+530*Z2+490*D2+1000*X3+650*Y3+480*Z3+240*D3+700*X4+550*Y4+480*Z4+340*D4约束条件为：各种技术人员的个数以及各项目对专业技术人员结构的要求即：maxf(X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4,Z1,Z2,Z3,D1.D2,D3,D4)s.t.4441119,17,10iiiiiiiiXYZ=====≤≤≤∑∑∑4110,116,211,318,4iiiiiiiiXYZDii===⎧⎫⎪⎪=⎪⎪+++≤⎨⎬=⎪⎪⎪⎪=⎩⎭∑1244413,25,122,1,2,3282,1,2,31iiXXXYiYZiZ≤≤≤≤≤≤≥=≤≤≥=≥4、模型一求解4.2．用Matlab优化工具箱的Linprog函数编程（见附录程序一），输入数据得出相同的解：()()1234123412341234,,,,,,,,,,,,,,,1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0XXXXYYYYZZZZDDDD=，昀大收益为：42.715*10f=。我们用这个Matlab6.5软件做出来的就是基于用单纯形法引入松弛变量而得出来的。因为松弛问题是作为一个线形规划问题，其可行解的集合是一个凸集，任意两个可行解的凸集组合仍为可行解。由于整数规划问题的可行解一定也是松弛问题的可行解（反之则不一定），所以前者昀优解的目标函数值不会优于后者昀优解的目标函数值。在一般情况下，松弛问题的昀优解不会刚好满足变量的整数约束条件，因而不是整数规划的可行解，自然就不是整数规划的昀优解。我们用Matlab6.5中函数[x,fval,d]=linprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)求解出来的当高级工程师人数变化时出现了小数现象，就是上述所述的问题。此时，若对松弛问题的这个昀优解中不符合整数要求的分量简单的取整，所得到的解不一定是整数规划问题的昀优解，甚至也不一定是整数规划问题的可行解。基于这个问题我们引入了解这个模型的第二种方法。44.2基于LinDo6.0的整数规划方法：对于该问题我们有同于4.1的目标函数及约束条件,用Lindo6.0求解问题,（见附录程序二）得：()()1234123412341234,,,,,,,,,,,,,,,1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0XXXXYYYYZZZZDDDD=，昀大收益为：42.715*10f=，。结果跟方法一的相同，从而也验证了结果的正确性。（二）、模型二：隐性收益模型考虑到模型一无法正确描述现实的情况，（比如，在B及D中的人员安排不太符合现实，D的客户对这种人员安排是不太满意的）。在现实生活中，企业在考虑直接经济利益的同时，还要顾及客户的利益。客户的满意程度正是公司的隐性收益.这样，就要寻找一种既不过多损害企业利益，又使客户满意的人员分配方案。1、模型假设：（1）--（4）假设同模型一（5）客户满意程度r只与工程技术含量以及人员结构有关。（6）技术含量满意值与所分配到的高级工程师人数成正比，与客户所付资金成反比.(说明：由于高级工程师是质量保证的关键，因此是技术含量的关键，所以用高级工程师的人员个数做标准)（7）、项目的人员结构合理值与能力值的算术和成正比，与所付资金成反比。（8）、各技术人员的能力值与工资成正比2、符号约定：f：模型一的目标函数值；r：客户满意值；K：隐性收益与客户满意值的比值；r1：工程技术含量满意比值；R1(i)：第i项目的技术含量满意程度值；E1(i)：模型一昀优值条件下,第i项目的技术含量满意程度值；r2：人员合理结构满意比值；R2(i)：第i个项目的人员结构合理值；E2(i)：模型一昀优值条件下,第i项目的合理人员结构合理值；Ui：高级工程师参加i项目每天收费；Vi：工程师参加i项目每天收费；Wi：助理工程师i项目每天收费；Ti：技术员参加i项目每天收费；a,b,c,d：分别是高级工程师、工程师、助理工程师、技术员的日工资。3、模型的建立由假设可以建立如下模型：第i个项目的技术含量满意程度：R1(i)=i项目工程师人数/i项目总收费即()1/****iiiiiiiiiiRXUXVYWZTD=+++(式一)第i个项目的合理人员结构满意值：R2(i)=4j=1(∑第j种技术人员的能力值*第j种人员的个数)/i项目的总收费由于能力值与工资成正比，因此能力值直接由工资来代替()2(****)/****iiiiiiiiiiiiiRXaYbZcDdUXVYWZTD=++++++（式二）5考虑不同项目，客户满意程度的标准不同，所以各个项目与昀优值的满意程度相比后的和比较客观反映总体的满意程度。例如A客户的满意比值=重新分配后的满意值/模型一中求得的分配的满意值对总体来说则有41111(/)iiirRE==∑(式三)42221(/)iiirRE==∑(式四)客户总满意程度r=工程技术含量满意比值r1+人员合理结构满意比值r2。即12r=r+r(式五)由收益=纯经济收益+隐性收益，同时结合式一、式二、式三、式四、式五得目标函数F(X1,X2,X3,X4,Y1,Y2,Y3,Y4,Z1,Z2,Z3,D1.D2,D3,D4,k)=f+k*r402.715*10FfKrffffΔ=Δ+ΔΔ=−=−对变量iiiiX,Y,Z,D的约束条件与模型一相同我们考虑与昀优效益相差fΔ的范围内，即企业可以接受的经济损失fΔ内，如果隐性收益r以得到提高，即可使得0fKrΔ+Δ对企业的长期发展来说是个可行的方案。因此我们寻求短期经济收益和客户满意程度的昀佳平衡。4、模型的求解对模型二的求解是在模型一昀优解的基础上做出的，具体思想：限制1000fΔ≥−用Matlab循环方法编程，找出所有的分配方案。寻找在一定的K值条件下，可以使得0fKrΔ+Δ的分配方案。由于K值的不确定性，我们在求解时无法求得昀优的解。因此只能给出相对优化的参考解。步骤：１、技术员只有５人，而各个项目对技术员的要求只能是[1310]２、固定助理工程师的人员安排，假设助理工程师的分配情况与模型一求出的分配方案相同。实际上由于四个项目对助理工程师的收费差别不大，所以先忽略分配对收益影响，这样大大减少了计算机的运算量。我们限制1000fΔ≥−，我们利用matlab编程（见附录程序三），求出一批可行解，从解中可以看到高级工程师的分配到A、B、C、D四个项目的人数分别是[]2421或者[]1422。有一组解是[]3321，损失1000fΔ=，且人员安排不是很合理，舍去。３、分别固定高级工程师的人员分配为[]2421和[]1422。限制1000fΔ≥−，利用matlab编程（见附录程序四、五），得出一批解，同时求出技术含量满意程度值和人员结构满意程度值。利用excel对数据进行排序，分析。iiiiU,V,W,T,a,b,c,d已知根据式一得E11=1.3333,E12=3.2895,E13=2.0408,E14=3.0303根据式二得E21=2.5333,E22=1.9934,E23=2.1939,E24=2.48484、分别对与昀优值的偏差fΔ，总技术满意程度比值1rΔ，总人员结构合理程度比6值2rΔ作图。5、可得出可供参考的人员分配方案（见下一页）。推荐第一组如下：各个项目的人员分