《离散型随机变量及其分布》单元测试题

《离散型随机变量及其分布》单元测试题（一）考试时间120分钟试卷满分150分★祝考试顺利★一、选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q等于(C)X－101P0.51－2qq2A．1B．1±22C．1－22D．1＋222.随机变量X的概率分布规律为P(X＝k)＝(1)ckk，k＝1,2,3,4，其中c是常数，则15P22X的值为(D)A.23B.34C.45D.563.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12,且互相独立，灯亮的概率为（C）A．316B．34C．1316D．144.三位同学独立地做一道数学题，他们做出的概率分别为111234、和，则能够将此题解答出的概率为（A）A．34B．124C．14D．13125．设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是（A）A.Eξ=0.1B.Dξ=0.1C.P（ξ=k）=0.01k·0.9910-kD.P（ξ=k）=Ck10·0.99k·0.0110-k6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(C)A.1220B.2755C.27220D.21257.从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，在取到的两个数之和为偶数时两数恰为偶数的概率是（B）A．B．C．D．8.有5位旅客去甲、乙、丙三个旅馆住宿，每位旅客选择去哪个旅馆是相互独立的，设其中选择去甲旅馆的旅客人数为X，则X的期望值是（B）A.43B.53C.2D.39.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P移动5次后位于点（2,3）的概率是（B）A.3)21(B.525)21(CC.335)21(CD.53525)21(CC10.一射手对靶射击，每次命中的概率为0.6，命中则止,现只有4颗子弹，设射手停止射击时剩余子弹数为随机变量X，则P（X=0）=(C)A.30.40.6B.40.4C.30.4D.0二、填空题：每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于______.7112.已知X的分布列为，且Y=aX+3，D(Y)=5，则a为____.313.任意向（0，1）区间上投掷一个点，用x表示该点的坐标，则令事件A={x|0＜x＜}，B={x|＜x＜1}，则P（B|A）=．14.袋中有大小相同的6只红球和4只黑球，今从袋中有放回地随机取球10次，.设取到一只红球得2分，取到一只黑球扣1分，则得分的均值是________.215.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，（1）他任意按最后一位数字，不超过3次就按对的概率是_________；310（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过3次就按对的概率是__________.35三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率.（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率.解：（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率278)32()31()(22242CAP.（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则34BAA,由于3A与4A互斥，故所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为91.17.某师范大学决定从n位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生，x3)中选派2位学生到某贫困山区支教．每一位学生被派的机会是相同的．(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为35，试求出n与x的值；(2)记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列．解：(1)从n位优秀毕业学生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数为C2n＝nn－12，2位学生中恰有1位女学生的结果数为C1n－3C13＝(n－3)×3.依题意可得C1n－3C13C2n＝n－3×3nn－12＝35，化简得n2－11n＋30＝0，解得n1＝5，n2＝6.当n＝5时，x＝5－3＝2；当n＝6时，x＝6－3＝3(舍)，故所求的值为n＝5x＝2.(2)当n＝5x＝2时，X可能的取值为0,1,2.X＝0表示只选派2位男生，这时P(X＝0)＝C02C23C25＝310，X＝1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X＝1)＝C12C13C25＝35，X＝2表示选派2位女生，这时P(X＝2)＝C22C25＝110.X的分布列为：X012P3103511018.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x1，x2，记ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2.(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率；(2)求ξ的分布列．解：(1)掷出点数x可能是：1,2,3,4.则x－3分别得：－2，－1,0,1.于是(x－3)2的所有取值分别为：0,1,4.因此ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8.当x1＝1且x2＝1时，ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最大值8，P(ξ＝8)＝14×14＝116；当x1＝3且x2＝3时，ξ＝(x1－3)2＋(x2－3)2可取得最小值0，P(ξ＝0)＝14×14＝116.(2)由(1)知ξ的所有取值为：0,1,2,4,5,8.P(ξ＝0)＝P(ξ＝8)＝116；当ξ＝1时，(x1，x2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)．即P(ξ＝1)＝416；当ξ＝2时，(x1，x2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)．即P(ξ＝2)＝416；当ξ＝4时，(x1，x2)的所有取值为(1,3)、(3,1)．即P(ξ＝4)＝216；当ξ＝5时，(x1，x2)的所有取值为(2,1)、(1,4)、(1,2)、(4,1)．即P(ξ＝5)＝416.所以ξ的分布列为：ξ012458P1161414181411619．人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保费a元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1，非意外死亡的概率为p2，（1）求保险公司的盈利期望；（2）a需满足什么条件，保险公司才可能盈利?解：（1）设ξ为盈利数，其概率分布为ξaa－30000a－10000P1－p1－p2p1p2Eξ=a（1－p1－p2）+（a－30000）p1+（a－10000）p2=a－30000p1－10000p2.（2）要盈利，至少需使ξ的数学期望大于零，故a＞30000p1+10000p2.20.某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）12345频率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时.（Ⅰ）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率.（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：Y12345P0.10.40.30.10.1（Ⅰ）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)PAPYPYPYPYPYPY0.10.30.30.10.40.40.22.（Ⅱ）方法一:X所有可能的取值为0，1，2.0X对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以(0)(2)0.5PXPY；1X对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以(1)(1)(1)(2)PXPYPYPY0.10.90.40.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以(2)(1)(1)0.10.10.01PXPYPY,所以X的分布列为X012P0.50.490.01∴00.510.4920.010.51EX.方法二：X所有可能的取值为0，1，2.0X对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以(0)(2)0.5PXPY；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以(2)(1)(1)0.10.10.01PXPYPY；所以(1)1(0)(2)0.49PXPXPX；所以X的分布列为X012P0.50.490.01∴00.510.4920.010.51EX.21.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差.（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率.【解析】(I)由已知条件和概率的加法公式有:P(X300)=0.3,P(300≤X700)=P(X700)-P(X300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X900)=P(X900)-P(X700)=0.9-0.7=0.2,所以P(X≥900)=1-P(X900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列为:Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延误天数Y的均值为3,方差为9.8.(Ⅱ)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(x300)=0.7,又P(300≤x900)=P(X900)-P(X300)=0.9-0.3=0.6.由条件概率,得P(Y≤6|X≥300)=P(X900|X≥300)=P(300X900)0.66P(X300)0.77故在降水量X至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率是67.