《一元二次不等式及其解法》典型例题透析

《一元二次不等式及其解法》典型例题透析类型一：解一元二次不等式例1.解下列一元二次不等式（1）250xx；（2）2440xx；（3）2450xx思路点拨:转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.解析：（1）方法一：因为2(5)410250所以方程250xx的两个实数根为：10x，25x函数25yxx的简图为：因而不等式250xx的解集是{|05}xx.方法二：250(5)0xxxx050xx或050xx解得05xx或05xx，即05x或x.因而不等式250xx的解集是{|05}xx.（2）方法一：因为0，方程2440xx的解为122xx.函数244yxx的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}xx方法二：2244(2)0xxx（当2x时，2(2)0x）所以原不等式的解集是{|2}xx（3）方法一：原不等式整理得2450xx.因为0，方程2450xx无实数解，函数245yxx的简图为：所以不等式2450xx的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：∵2245(2)110xxx∴原不等式的解集是.总结升华：1.初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2.当0时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3.当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.举一反三：【变式1】解下列不等式(1)22320xx；(2)23620xx(3)24410xx；(4)2230xx.【答案】（1）方法一：因为2(3)42(2)250方程22320xx的两个实数根为：112x，22x函数2232yxx的简图为：因而不等式22320xx的解集是：1{|2}2xxx或.方法二：∵原不等式等价于21)(2)0xx（,∴原不等式的解集是：1{|2}2xxx或.（2）整理，原式可化为23620xx,因为0,方程23620xx的解1313x，2313x，函数2362yxx的简图为：所以不等式的解集是33(1,1)33.（3）方法一：因为0方程24410xx有两个相等的实根：1212xx，由函数2441yxx的图象为：原不等式的的解集是1{}2.方法二：∵原不等式等价于：2(21)0x,∴原不等式的的解集是1{}2.（4）方法一：因为0，方程2230xx无实数解，由函数223yxx的简图为：原不等式的解集是.方法二：∵2223(1)220xxx，∴原不等式解集为.【变式2】解不等式：2666xx【答案】原不等式可化为不等式组226666xxxx，即221200xxxx，即(4)(3)0(1)0xxxx，解得3410xxx或∴原不等式的解集为{|3014}xxx或.类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数例2.不等式20xmxn的解集为(4,5)x，求关于x的不等式210nxmx的解集。思路点拨:由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程20xmxn的二根，故由韦达定理可求出m、n的值，从而解得.解析：由题意可知方程20xmxn的两根为4x和5x由韦达定理有45m，45n∴9m，20n∴210nxmx化为220910xx，即220910xx(41)(51)0xx，解得1145x，故不等式210nxmx的解集为11(,)45.总结升华：二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】不等式ax2+bx+120的解集为{x|-3x2}，则a=_______,b=________。【答案】由不等式的解集为{x|-3x2}知a0，且方程ax2+bx+12=0的两根为-3，2。由根与系数关系得62)3(a12123ab解得a=-2,b=-2。【变式2】已知220axxc的解为1132x,试求a、c,并解不等式220cxxa.【答案】由韦达定理有：11232a，1132ca，∴12a,2c.∴代入不等式220cxxa得222120xx，即260xx，(3)(2)0xx，解得23x，故不等式220cxxa的解集为：(2,3).【变式3】已知关于x的不等式20xaxb的解集为(1,2)，求关于x的不等式210bxax的解集.【答案】由韦达定理有：1212ab，解得32ab,代入不等式210bxax得22310xx，即(21)(1)0xx，解得12x或1x.∴210bxax的解集为：1(,)(1,)2.类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题例3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。思路点拨:不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。解析：(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为30,对一切实数x成立，符合题意。若m=-5，则不等式为24x+30，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以0)5m4m(12)1m(1605m4m222，即19m15m1m或，∴1m19。综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m19}。总结升华：情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】若关于x的不等式2(21)10mxmxm的解集为空集，求m的取值范围.【答案】关于x的不等式2(21)10mxmxm的解集为空集即2(21)10mxmxm的解集为R当0m时，原不等式为：10x，即1x，不符合题意，舍去.当0m时，原不等式为一元二次不等式，只需0m且0，即2(21)4(1)00mmmm，解得18m，综上，m的取值范围为：1(,)8m.【变式2】若关于x的不等式2(21)10mxmxm的解为一切实数，求m的取值范围.【答案】当0m时，原不等式为：10x，即1x，不符合题意，舍去.当0m时，原不等式为一元二次不等式，只需0m且0，即2(21)4(1)00mmmm，解得0m，综上，m的取值范围为：(0,)m.【变式3】若关于x的不等式2(21)10mxmxm的解集为非空集，求m的取值范围.【答案】当0m时，原不等式为：10x，即1x，符合题意.当0m时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意当0m时，只需0，即2(21)4(1)00mmmm，解得108m，综上，m的取值范围为：1[,)8m.类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法例4．解下列关于x的不等式（1）x2-2ax≤-a2+1；（2）x2-ax+10；（3）x2-(a+1)x+a0；解析：(1)22210[()1][()1]011xaxaxaxaaxa∴原不等式的解集为{|11}xaxa。(2)Δ=a2-4当Δ0，即a2或a-2时，原不等式的解集为}2424|{22aaxaaxx或当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2axx。当Δ0，即-2a2时，原不等式的解集为R。（3）(x-1)(x-a)0当a1时，原不等式的解集为{x|1xa}当a1时，原不等式的解集为{x|ax1}当a=1时，原不等式的解集为。总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：)0(01)1(2axaax【答案】原不等式化为0)1)((axax①a=1或a=-1时，解集为；②当0a1或a-1时，aa1，解集为：1{|}xaxa；③当a1或-1a0时，aa1，解集为：1{|}xxaa。【变式2】解关于x的不等式：223()0xaaxa（aR）【答案】2232()0()()0xaaxaxaxa当a＜0或a＞1时，解集为2{|}xxaxa或；当a=0时，解集为{|0}xx；当0＜a＜1时，解集为2{|}xxaxa或；当a=1时，解集为{|1}xx；例5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。解析：若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；若a＜0，原不等式211(1)0xxaa11()(1)0xxxaa或x＞1；若a＞0，原不等式2111(1)0()(1)0xxxxaaa，其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式x；（2）当a＞1时，原不等式11xa；（3）当0＜a＜1时，原不等式11xa综上所述：当a＜0，解集为1{|1}xxxa或；当a=0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为1{|1}xxa；当a=1时，解集为；当a＞1时，解集为1{|1}xxa。总结升华：熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”。举一反三：【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；【答案】当a=0时，x∈(-,2].当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为2,121xax①当a0时，若210aa，，即210a时，),1[]2,(ax；若210＝，aa，即21a时，x∈R；若210aa，，即21a时，),2[]1,(ax.②当a0时，则有：21a，∴]21[，ax。【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-10；【答案】当a=0时，)21,(x.当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，①a0时，则Δ0，)11,11(aaaax.②a0时，若a0，△0，即a-1时，x∈R；若a0，△=0，即a=-1时，x∈R且x≠1；若a0，△0，即-1a0时，),11()11,(aaaax。【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+10【答案】若a=0，原不等式化为-x+10，解集为{x|x1}；若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.方程012xax的判别式△=1-4a(Ⅰ)当△=1-4a0，即41a时，方程012