(数学建模)人力资源安排模型

1人力资源安排模型摘要：近年来，我国电力工程发展越来越快，高级人力资源渐渐成为发展的瓶颈.如何在保证专业人员结构符合客户的要求下合理的分配现有的技术力量，使得公司直接收益最大已成为每个公司需要解决的问题。本文针对某一公司在承接4个项目工程时的人力资源如何安排使得直接收益最大这一问题进行建模。本文建立模型主要依据公司的人员结构及工资情况、各项目对专业技术人员结构要求、以及不同项目和各种人员的收费标准三个要素。其中人员结构和对人员结构的要求为约束条件，各种人员的收费标准、工资和管理开支为权重。本文针对这一特点建立16个变量的整数规划模型。并分别运用启发式算法和软件求解该模型。在启发式算法中，先将人员结构分为两个部分，固定部分即客户的最低需求部分，调派部分即需要安排部分。其中固定部分所对应的直接收益是固定的，所以只需考虑调派部分所产生的最大收益，将收费标准减去所有对应的开支，得到该公司的利润标准，并给出不同项目和各种人员的利润图表。对简化后的11个变量考虑，运用启发式算法给出调派部分的人员安排以及直接收益，最后给出具体人员安排如下：A项工程需高级工程师1名，工程师6名，助理工程师2名，技术员1名；B项工程需高级工程师5名，工程师3名，助理5名，技术员3名；C项工程需高级工程师2名，工程师6名，助理2名，技术员1名；D项工程需高级工程师1名，工程师2名，助理1名，技术员无；最大利润为每天27150元。用Lindo软件对16个变量的整数规划求解得到答案和上面相同，最大利润为每天27150元。本模型的优点在于运用两种不同的方法进行求解，得到了相同的结果，启发式算法在去掉固定部分的调派人员后，使问题大大简化，有利于计算；同时给出利润标准，使问题更加直观，由于所建立的是整数规划模型，在变量比较多时，用Lindo软件易于求解，具有一定的普遍性和推广性；同时，在变量较少时，启发式算法也是一种有效的方法。关键词：启发式算法，整数规划模型，灵敏度分析，最大收益，优化分析一．问题重述2“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。高级工程师工程师助理工程师技术员人数日工资（元）925017200101705110目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。高级工程师工程师助理工程师技术员收费（元/天）ABCD1000150013001000800800900800600700700700500600400500为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3所示：ABCD高级工程师工程师助理工程师技术员总计1～3221102～5223162221111～22～81--18因此需要解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？二．问题分析3在本模型中，要解决的问题为怎样分配人力资源使公司的直接收益最大，其约束分别为公司人员结构以及各项目对专业人员结构要求。很明显这是一个变量为16个的整数规划问题，在满足约束条件下建立相关模型是比较简单的，如何给出解答是本题的关键。本文给出了3种解法。解法一在模型的求解中可以将安排分为两个部分：第一个部分为固定部分即客户最低要求部分，其利润是不变的；第二部分为需要安排部分，为方便起见，首先将16个变量简化为11个变量，给出其对应的利润标准。对需要安排部分运用启发式算法，求出需要安排部分的人员结构，在此基础上可得到最大收益，即为固定利润与安排部分最大利润之和。解法二是将此问题看作多重集的r组合数，分别给出不同的可能组合，再求最大值，由于计算量比较大和时间上的关系，本文就不再给出解答。解法三采用Lindo软件进行求解，得到最优安排。三．符号说明DCBA,,,表示各承包项目的类型ijx表示j项目需要i类型人的人员数ijc表示第i类型人被调派到第j项目的收费标准W表示该公司每天的直接收益1W表示该公司每天固定部分的直接收入2W表示该公司每天调派部分的直接收入R表示该公司承包四个项目每天的直接收入L表示DC,两个项目专业技术人员的每天管理开支的总费用Q表示该公司每天所发给41个专业技术人员的工资总额ij表示第i类专业技术人员作第j个项目给公司净收入ik表示该公司给第i类专业技术人员每天所发的工资)(明其它符号在文中用处说4四．模型的假设1假设该公司每天都必须给41个专业技术人员发工资，无论他们是否被指派去完成各项目；2假设在DC,两个项目工作的工人所开支的管理费由该公司承担；3假设这四个项目每天都在开工，不存在停工的项目；五．模型的建立1.模型的准备为了做到心中有数，首先我们对本问题进行粗略的估算，（1）对出动人数的估计一方面，从表1和表2中的数据可以看出，所有专业技术人员无论调派到那个项目，他们的收费标准都大于该公司给他们所发的日工资，另一方面，四个项目所需要的总人数为55，大于该公司的现有专业技术人数41，所以，为了使该公司每天的直接收益最大，我们得出的结论是：要求该公司出动所有的专业技术人员，即调派41个专业技术人员去这四个项目。（2）对调派方案估计由于这四个项目对该公司的人员结构有要求，设ij表示为第i类人调派去做第j个项目时，给公司带来的直接收益，ik表示公司给专业技术人员的日工资，ijc表示第i类人员做第j项目的收费标准，则)4,3(50)2,1(jkcjkciijijiijij由此，我们得出ij的值如下表：11121314212223247501250105075060060065055053132333441424344430530480480390490240340表(4)下面采用按ij的最大元素法对人员进行调派，由于14111312，因此，高级工程应尽量调派到B项目，同理，工程师应尽量调派到C项目；助理工程师应尽量调派到B项目，而技术人员只有5个，恰好是四个项目的最低要求，因而不存在这样的问题。这样可以得到以下的调派人数表，ABCD分配情况高级工程师1最多5人21分配完工程师最多为6助理工程师2最多5人21分配完技术员1310分配完总计101611表(5)现在只剩下工程师没有分配完，由于24222123，所以工程师在先满足C的条件下，再尽量满足BA,，由于此时B最多只能分配335516名，A最多能分配612110名，这样41名专业技术人员分配完毕。（3）对该公司每天直接收益估计假若该公司是按上面的方案进行调派的，我们认为该公司每天的直接收益是最大的，通过计算，得出最大的直接收益为：414127150ijijijxW，由于上面的调派方案可能不是最优的，所以最优的直接最大收益'W，应该满足WW'。2.整数规划模型通过对问题仔细的分析,可用整数规划模型来描述:设)4,3,2,1(ii为人员类型，其中1表示高级工程师，2表示工程师，3表示助理工程师，4表示技术员；)4,3,2,1(jj为项目类型，其中1表示A项目，2表示B项目，3表示C项目，4表示D项目；6)4,3,2,1;4,3,2,1(jixij表示第j项目需要第i类人的人数，ijc表示第i类人员做第j项目的收费标准。Q表示该公司每天所发给41个专业技术人员的工资总额，R表示该公司承包四个项目每天所得的收入，L表示DC,两个项目的专业技术人员每天的开支管理费，则该公司每天的直接收益QLRW题意知：7900511010170172009250Q元要使该公司每天的直接收益最大，我们建立整数规划模型，具体过程如下：目标函数为：79005041434141ijijijijijxxcWMax约束条件为：)1(由于要满足该公司的人员结构要求，即有：4119jjx（该公司供分配的高级工程师不超过9人）41217jjx（该公司供分配的工程师不超过17人）41310jjx（该公司供分配的助理工程师不超过10人）4145jjx（该公司供分配的技术人员不超过5人）)2(项目A对专业技术人员结构的要求，即有：3111x（A项目对高级工程师的要求）221x（A项目对工程师的要求）231x（A项目对助理工程师的要求）141x（A项目对技术员的要求）41110iix（A项目对总人数的限制）7)3(项目B对专业技术人员结构的要求，即有：5212x（B项目对高级工程师的要求）222x（B项目对工程师的要求）232x（B项目对助理工程师的要求）342x（B项目对技术员的要求）41216iix（B项目对总人数的限制）)4(项目C对专业技术人员结构的要求，即有：213x（C项目对高级工程师的要求）223x（C项目对工程师的要求）233x（C项目对助理工程师的要求）143x（C项目对技术人员的要求）41311iix（C项目对总人数的限制）)5(项目D对专业技术人员结构的要求，即有：2114x（D项目对高级工程师的要求）8224x（D项目对工程师的要求）134x（D项目对助理工程师的要求）044x（D项目对技术人员的要求）41418iix（D项目对总人数的限制）)6(该公司分配给各个项目的专业技术人员要必须是正整数，即有：80ijx)4,3,2,1;4,3,2,1(ji六．模型的求解方法一：启发式算法首先将问题做如下简化：1）对公司的收入和支出的简化：公司每天的直接收益为收入R减去发给员工的工资Q和管理费用L，即LQRW，在计算过程中，公司的直接收益可以简化为每个专业技术人员在不同的四个项目中对公司带来的收益，可以看作各种人员在不同项目的利润标准，即每个人员在不同项目中每天可以获得的利润。给出不同项目和各种人员的利润标准（单位元/天）：高级工程师工程师助理工程师技术员A750600430390B1250600530490C1000650480240D700550480340表（6）2)各项目对专业技术人员结构的要求以及人员结构的简化：在各项目中，客户对不同的技术人员结构都有个最低要求，其对应的成本是固定的，在调派过程中除去固定部分后的最大利润对应着总的最大利润。给出固定部分的最低人员配置要求和剩余技术人员结构图表（7）：ABCD剩余人员高级工程师12213工程师22229助理工程师22213技术员13100表（7）其对应的每天固定部分直接收益9162101ijijxcW（元/天）给出调派部分不同项目对技术人员分配要求和剩余人员结构图表（8）：ABCD剩余人员高级工程师0—20--300--13工程师0000--69助理工程师00003技术员00000需求47414表（8）可以看出变量由16个减少为11个，对这11个变量给出模型。下面根据图表（4）和图表（6）的数据，运用启发式算法进行求解：首先对最高层--高级工程师进行分配，其中B的权值最大，所以先将3个高级工程师尽可能安排在B处，此时B的剩余需求为4个人，最高层安排完毕。然后考虑次高层--工程师，其中C的权值最大，则先将工程师尽可能安排在C处，此时C处人员需求已满，工程师还有5个剩余，考虑次大权值为A和B，由于两个权值相等，我们为满足需求条件，先对第三层--助理工程师考虑。助理工程师在B中的权值最大，尽可能向B处安排助理工程师，这样助理工程师安排完毕。此时B处剩余需求为1人，安排工程师1名在B处，剩余的4名工程师刚好满足A，最优安排完毕。给出调度部分的人员安排图表ABCD高级工程师7501250(3)1000700工程师600(4)600(1)650(4)550助理工