小升初奥数--几何(蝴蝶模型)

蝴蝶模型一、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：S4S3S2S1ODCBA①1243::SSSS或者1324SSSS②1243::AOOCSSSS蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．二、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：ABCDObaS3S2S1S4①24SS②2213::SSab③221324::::::SSSSababab④S的对应份数为2ab．基础篇：【一】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ODCBA【分析】根据蝴蝶定理求得3121.5AODS△平方千米，公园四边形ABCD的面积是1231.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.56.920.58平方千米成都学而思五年级教研组【二】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC的面积；⑵:AGGC？ABCDG321【分析】⑴根据蝴蝶定理，123BGCS，那么6BGCS；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AGGC．【三】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。图20-1776【分析】设另两块面积分别为x，y，如图：yx7676526739xyxy设x=6k，y=7k，则x+y=13k=39k=3∴1821xy四个三角形中最大的一个的面积是21【四】如图，22S，34S，求梯形的面积．S4S3S2S1【分析】设1S为2a份，3S为2b份，根据梯形蝴蝶定理，234Sb，所以2b；又因为22Sab，所以1a；那么211Sa，42Sab，所以梯形面积123412429SSSSS，或者根据梯形蝴蝶定理，22129Sab．提高篇：【五】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．ABCDEF【分析】连接DE,根据题意可知:1:2BEAD，根据蝴蝶定理得2129S梯形（）(平方厘米)，3ECDS△(平方厘米),那么12ABCDS(平方厘米)．【六】如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,,EF是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.OFEDCBA【分析】因为,EF是DC边上的三等分点，所以:1:3EFAB,设1OEFS△份，根据梯形蝴蝶定理可以知道3AOEOFBSS△△份,9AOBS△份,(13)ADEBCFSS△△份,因此正方形的面积为244(13)24份，6S阴影份，所以:6:241:4SS阴影正方形,所以3S阴影平方厘米.【七】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．?852OABCDEF?852OABCDEF【分析】连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以EODFOCSS，又根据蝴蝶定理，EODFOCEOFCODSSSS，所以2816EODFOCSS，所以4EODS(平方厘米)，4812ECDS(平方厘米)．那么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)．【八】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．GMDCBA【分析】因为M是AD边上的中点，所以:1:2AMBC，根据梯形蝴蝶定理可以知道22:::1:12:12:21:2:2:4AMGABGMCGBCGSSSS△△△△（）（），设1AGMS△份，则123MCDS△份，所以正方形的面积为1224312份，224S阴影份，所以:1:3SS阴影正方形,所以1S阴影平方厘米【九】如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD的面积是．ABCDEOABCDEO【分析】解法一：连接DE，依题意1195422AOBSBOAOAO，所以12AO，则1116129622AODSDOAO．又因为154162AOBDOESSOE，所以364OE，得113396302248BOESBOEO，所以3554963011988OECDBDCBOEABDBOESSSSS．解法二：由于::16:9AODAOBSSODOB，所以1654969AODS，而54DOEAOBSS，根据蝴蝶定理，BOEAODAOBDOESSSS，所以3545496308BOES，所以3554963011988OECDBDCBOEABDBOESSSSS．【十】如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知1AO，并且35ABDCBD三角形的面积三角形的面积，那么OC的长是多少？ABCDO【分析】根据蝴蝶定理，ABDAOCBDCO三角形的面积三角形的面积，所以35AOCO，又1AO，所以53CO．挑战篇：【一】如下图，正方形ABCD的面积是a，正三角形BPC的面积是b，求阴影BPD的面积．PDCBAOABCDP【分析】连接AC交BD于O点，并连接PO．如图所示，可得//PODC，所以DPO与CPO面积相等(同底等高)，所以有:BPOCPOBPOPDOBPDSSSSS,因为1144BOCABCDSSa,所以14BPDSba．