微积分基本公式(打印)

()dbafxx定积分定义定积分的几何意义:0lim各部分面积的代数和可积的两个充分条件:1.2.且只有有限个间断点定积分的性质(7条)§5.1内容回顾ix()if1ni(大前提:函数有界)定积分的性质(设所列定积分都存在)0d)(aaxxf(k为常数)2.[()()]d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx规定4.dbaxab5.若在[a,b]上则推论1.若在[a,b]上则推论2.)(ba6.设,)(min,)(max],[],[xfmxfMbaba则)(ba7.定积分中值定理则至少存在一点使))((d)(abfxxfba证:,,],[)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质6可得根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在],[ba使因此定理成立.(,)aboxbay)(xfy说明:•可把)(d)(fabxxfba故它是有限个数的平均值概念的推广.•积分中值定理对因,.()ab改成P241例6内容小结1.定积分的定义—特殊和式的极限2.定积分的性质3.定积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式()d()bafxxfba()d()()bafxxfba[,]ab注:可进一步修改为(,)ab(证明见§5.2)1.P235题42.P236题13(4)题13(4)解:设()ln(1)fxxxxxf111)((0,1)x,0)(xf()(0)0,[0,1]fxfx0d)(10xxf即xxxxd)1(lnd1010()(0)fxf但(P23512(2))在[0,1]上严格单增[0,1],C定积分中值定理(推广)证明:则至少存在一点()()d()()dbbaafxgxxfgxx若f(x)在[a,b]上连续,g(x)在[a,b]上连续且保号使得,(保号的保持在积分内)(P270第14题)证:不妨设g(x)≥0,若g(x)≡0则命题显然成立,若g(x)≡0,则()d0bagxx设f(x)在[a,b]上的最小(大)值为m(M).mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)在[a,b]上积分得,dddbbbaaamgxfgxMgxddbabafgxgxMm()()d()dbabafxgxxmMgxx由介值定理得,()()d().()dbabafxgxxfgxx,,[]ab()()d()()d.bbaafxgxxfgxx即使得若在[a,b]上连续,证明且若(P235第12题)则(1)且若则(2)且若则(3)证:(1)(反证)设则存在x0使得f(x0)0不妨设则存在x0的某邻域U(x0,δ),当x属于U(x0,δ)时,f(x)与矛盾.所以且若则(2)由(1)反证.首先若由(1)得,矛盾,所以…(3)令F(x)=g(x)－f(x)由(1)得,F(x)=g(x)－f(x)≡0即g(x)=f(x)．二、积分上限的函数及其导数三、牛顿–莱布尼兹公式一、引例§5.2微积分的基本公式第五章(微积分的基本公式)一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数)()(tvts则物体在时间间隔内经过的位移为21()dTTvtt这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.21()()sTsT在这里s(t)是v(t)的原函数，即)(xfyxbaoy)(xxhx二、积分上限的函数及其导数则变上限函数xattfxd)()(证:,],[,bahxx则有hxhx)()(h1xahxattfttfd)(d)(hxxttfhd)(1)(fhxhxh)()(lim0)(lim0fh)(xf)(x定理1.若(ξ介于x与x+h之间)()x说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.()()d()ddvxuxfttx[()]()[()]()fvxvxfuxux(推导在后面)三、牛顿–莱布尼兹公式)()(d)(aFbFxxfba(牛顿-莱布尼兹公式)证:根据定理1,故()Fx因此)()(d)(aFxFxxfxa得记作定理2.函数,则()dxafxxC例1.计算解:原式=例2.计算解:arctanx13)1arctan(3arctan37.12)4(原式=例4.计算正弦曲线的面积.解:0dsinxxAxcos02.yoxxysin例3.计算解:21dlnxxx21ln2ln1ln2.||例5.汽车以每小时36km的速度行驶,速停车,解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度)(10sm)(sm3600100036刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为20d)(ttvs20d)510(tt22510tt(m)1002刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度车到停车走了多少距离?2cos(sin)xex－例6.求解:原式0limx00x2e21例7.确定常数a,b,c的值,使解:.0b原式=c≠0,故.1a又由～,得.21cttftxfxd)()(0例8.证明在内为单调递增函数.证:20d)(ttfxttfxfxxd)()(020d)(ttfxttfxfxd)()(0)(tx0只要证0)(xF20d)(ttfxxfx)()()(xf)0(x例9.设101()()xftdtftdt求0()()xxftdt在[０,２]的表达式.解:时,3.3x12x时,1201xtdttdt221111[1].3226xx总之…内容小结,)()(,],[)(xfxFbaCxf且设则有1.微积分基本公式xxfbad)(()()FbFa3.变限积分求导公式()()d()ddvxuxfttx[()]()[()]()fvxvxfuxux2.定积分中值定理的推广()()Fba()()fbaξ∈(a,b)或ξ∈(b,a)[()][()]FvxFux()()()dvxuxftt所以[()]()[()]()FvxvxFuxux()()d()()dbbaafxgxxfgxx(保号的保持在积分内)作业P2433;4;5(3);6(8),(11),(12);9(2);11,12,13