2014-2015北邮概率论与随机过程期末

A1北京邮电大学2014—2015学年第2学期3学时《概率论与随机过程》期末考试试题（A）答案考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效一、填空题（45分，每空3分）1.设,,ABC是随机事件，A与C互不相容，1()2PAB,1()3PC，则(|)PABC.342.设随机变量X的分布函数001()01,211xxFxxex则(1)PX.112e3.设(,)XY的概率密度为1,01,(,)10,otherwise,xyfxyx则对任意给定的(01)xx，()Xfx.14.设随机变量X的概率分布为()(0,1,2,...)!CPXkkk，则()DX.15.设随机变量X服从参数为的指数分布，则(())PXEX.1e6.设二维随机变量(,)XY的概率密度为601(,)0xxyfxy，其他则(1)PXY.147.设随机变量,XY相互独立，且~(3,4),~(10,0.3)XNYb，则()EXY=.68.设X和Y相互独立，X～)2,1(N，Y的分布律为Y-1013P0.10.40.30.2则}1,1{YXP.0.49.设二维随机变量(,)XY服从22(,,,,0)N，则2()EXY.22()10.将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为=.-111.已知随机过程(),(,)XtAtBt，其中A,B独立同分布，且A~N(0，1)，则X(t)的一维概A2率密度(,)fxt.222(1)21(,),2(1)xtfxtext12.设{(),0}Wtt是参数为2(0)的维纳过程，则(2)(1)WW与的相关系数为.2213.设{(),0}Ntt是参数为0的泊松过程，则{(2)2,(4)3|(1)1}PNNN.232e14.设{,0,1,2,}nXn是齐次马氏链，{1,2,3}I，一步转移概率矩阵为00.50.50.500.50.50.50P，则11lim()nPn.1315.设平稳过程{(),0}Xtt的功率谱密度21()1XS，则其自相关函数()XR.||12e二、（15分）某保险公司多年的统计表明：在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。(1)写出X的概率分布；(2)利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率的近似值．[附表]设)(x是标准正态分布的分布函数x0.51.01.52.02.5)(x0.6920.8410.9330.9770.994解(1))2.0,100(~bX，即100,,1,0)8.0()2.0(100100kCkXPkkk.(5分)(2)16)(,20)(XDXE，(4分)927.01)5.1()5.2()5.1()5.2(}1620301620162014{}3014{XPXP(6分)三、（15分）设二维随机变量(X,Y)具有概率密度A3(1)求边缘概率密度(),()XYfxfy.(2)求条件概率密度|(|)YXfyx，|(|)XYfxy.(3)求条件概率(1|1)PYX.解.(1),0()(,)0,0xXexfxfxydyx,0()(,)0,0yYyeyfyfxydyy(5分)(2)当0x，|,0(,)(|)()0,xyYXeyxfxyfyxfx其他，当0x，不存在。当0y，|(|)XYfxy=1/,0(,)0,()yyxfxyfy其他，当0y，不存在。(5分)（3）1(1)1PXe,1(1,1)12PXYe,所以(1,1)2(1|1)(1)1PXYePYXPXe(5分)四、（15分）独立地重复掷一颗骰子，以Xn表示前n次掷出的最小点数，则,1nXn是一齐次马尔可夫链，初始分布为11(),1,2,...,6,6PXii一步转移概率矩阵为10000015000066114000666.111300666611112066666111111666666,0(,)0,yexyfxy其他A4（1）求123(3,3,3)PXXX,（2）求2X的分布律.解：（1）123121323333(3,3,3)(3)(3|3)(3|3)(4)14(3)654PXXXPXPXXPXXpp分分（2）记2X的分布律为(2)q，则(2)(1)1000001500006611400066611111111136666660066661111206666611111166666611975313636363636qq.36(8分)解法二：根据全概率公式，有622111()(|)(),iPXjPXjXiPXi(4分)再逐一计算。(4分)五、（10分）设()Xt是平稳过程，定义()()cos()YtXtt，()Xt与相互独立，~(0,2)U，为常数。试证明()Yt是平稳过程.证明：设平稳过程()Xt的均值函数为()Xt，相关函数为()XRt。A520()(())(()cos())(())(cos())1()cos()d0.2YXtEYtEXttEXtEttt(4分)20(,)(()())(()())(cos()cos(()))()cos()cos(())d1()cos().2YXXRttEYtYtEXtXtEttRttR(5分)()Yt的均值函数是常数，相关函数只与τ有关，故()Yt是平稳过程。(1分)