2015-2016北邮概率论与随机过程期末

北京邮电大学2015—2016学年第2学期3学时《概率论与随机过程》期末考试试题（B）考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效一、填空题（45分，每空3分）1.袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.2/52.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则=_____________.1/33.若随机变量在（0,5）上服从均匀分布,则方程有实根的概率是____________.3/54.设X是连续型随机变量，其分布函数F(x)严格单调，则随机变量Y=2F(X)的分布函数𝐹𝑌(𝑦)=.0,0,2,02,1,2yyyy5.设随机变量X和Y相互独立，且𝑋~𝑁(1,4),𝑌~𝑁(3,5)，则2X-3Y+1的分布服从，𝑃(−8𝑋−𝑌4)=.N(-6,61),0.9544(其中Φ(1)=0.8413和Φ(2)=0.9772).6.设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为01则随机变量𝑍=max*𝑋,𝑌+的分布律为_________.𝑃(𝑍=0)=14,𝑃(𝑍=1)=347.设随机变量X和Y的相关系数为0.5，X的概率密度函数为()PA210xxXP121221,0,()20,0xexfxx，𝑌~𝐵(18,13).则E(XY)=.148.设随机变量序列1250,,,XXX独立同参数(0.02)的泊松分布，记501iiYX，利用中心极限定理近似计算(2)PY.0.15879.设X～)4,0(U，Y～)5.0,2(B，且X与Y相互独立，则}3{YXP5.010.设()sincos,(),XtUtVtt其中,UV是互不相关，且都是服从标准正态分布的随机变量，则{()}Xt的一维概率密度为(;)fxt.2212xe11.设{(),0}Wtt是参数为2的维纳过程，(0)0W。定义𝑋(𝑡)=𝑎𝑊.𝑡𝑎/,𝑎0，则自协方差函数CX(s,t)=ασ2min*s,t+12.设{(),0}Ntt服从强度为的泊松过程，则𝑃*𝑁(7)=9|𝑁(3)=4+=(4λ)5e−4λ/5!13.设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}nX的状态空间是*1,2,4+,平稳分布为π=*23,16,16+,若P(X0=1)=23,P(X0=2)=16,P(X0=4)=16,则方差𝐷(𝑋𝑛)=11/914.设}),({ttX为平稳随机过程，功率谱密度为212)(XS,则其平均功率为1二、（15分）设随机变量X的概率分布密度为𝑓(𝑥)=12𝑒−|𝑥|,−∞𝑥+∞(1)求X的数学期望E(X)和方差D(X)（5分）(2)求X与|𝑋|的协方差,并问X与|𝑋|是否相关?（5分）(3)问X与|𝑋|是否相互独立?为什么?（5分）解：(1)𝐸(𝑋)=∫𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥=0+∞−∞（2分）方差𝐷(𝑋)=∫𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥−0=∫𝑥2𝑒−𝑥𝑑𝑥=2+∞0+∞−∞（5分）(2)𝐶𝑜𝑣(𝑋,|𝑋|)=𝐸(𝑋,|𝑋|)−𝐸(𝑋)𝐸(|𝑋|)=∫𝑥|𝑥|𝑓(𝑥)𝑑𝑥−0+∞−∞=0所以X与|X|不相关（10分）(3)对给定0𝑎+∞，显然*|𝑋|𝑎+⊂*𝑋𝑎+，所以𝑃*𝑋𝑎,|𝑋|𝑎+=𝑃*|𝑋|𝑎+。又有𝑃*𝑋𝑎+1，𝑃*|𝑋|𝑎+0，所以𝑃*𝑋𝑎+∙𝑃*|𝑋|𝑎+𝑃*|𝑋|𝑎+，因此𝑃*𝑋𝑎,|𝑋|𝑎+≠𝑃*𝑋𝑎+∙𝑃*|𝑋|𝑎+，所以X与|X|不独立（15分）三、（15分）设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为𝑃*𝑋=𝑖+=13(𝑖=−1,0,1)，Y的概率密度为𝑓𝑌(𝑦)={𝑎0≤𝑦≤10其它,记Z=X+Y,(1)求常数a的值（3分）(2)求𝑃*𝑍≤12|𝑋=0+.（5分）(3)求Z的概率密度.（7分）解：(1)∫𝑓𝑌(𝑦)𝑑𝑦=∫𝑎𝑑𝑦=101+∞−∞，解得：a=1（3分）(2)𝑃{𝑍≤12|𝑋=0}=𝑃{𝑋+𝑌≤12|𝑋=0}=𝑃{𝑌≤12|𝑋=0}=𝑃*𝑌≤12+=12（8分）(3)𝐹𝑍(𝑧)=𝑃*𝑍≤𝑧+=𝑃*𝑋+𝑌≤𝑧+=𝑃*𝑋+𝑌≤𝑧,𝑋=−1++𝑃*𝑋+𝑌≤𝑧,𝑋=0++𝑃*𝑋+𝑌≤𝑧,𝑋=1+=𝑃*𝑌≤𝑧+1,𝑋=−1++𝑃*𝑌≤𝑧,𝑋=0++𝑃*𝑌≤𝑧−1,𝑋=1+=𝑃*𝑌≤𝑧+1+𝑃*𝑋=−1++𝑃*𝑌≤𝑧+𝑃*𝑋=0++𝑃*𝑌≤𝑧−1+𝑃*𝑋=1+=13,𝐹𝑌(𝑧+1)+𝐹𝑌(𝑧)+𝐹𝑌(𝑧−1)-（11分）𝑓𝑍(𝑧)=𝐹𝑍′(z)（12分）=13,𝑓𝑌(𝑧+1)+𝑓𝑌(𝑧)+𝑓𝑌(𝑧−1)-={13,−1≤𝑧≤20,其它（15分）四、（15分）设齐次马氏链}0,{nXn的状态空间为}3,2,1{E，状态转移概率矩阵为𝑃=121201302301434初始分布P{X0=1}=1,P{X0=i}=0,i=2,3(1)证明马氏链}0,{nXn具有遍历性，并求其极限分布（8分）(2)求𝑃*𝑋(1)=1,𝑋(3)=3+;（7分）解(1)𝑃2=51214131613121123163548（3分）因为2P中所有元素均为正数，且马氏链的状态是有限个，所以遍历。极限分布满足如下方程组：{𝜋1=12𝜋1+13𝜋2𝜋2=12𝜋1+14𝜋3𝜋3=23𝜋2+34𝜋3𝜋1+𝜋2+𝜋3=1（6分）解得：𝜋1=213，𝜋2=313，𝜋3=813（8分）（2）𝑃*𝑋(1)=1,𝑋(3)=3+=𝑃*𝑋(3)=3|𝑋(1)=1+𝑃*𝑋(1)=1+=𝑃13(2)𝑃*𝑋(1)=1+（11分）𝑃1=𝑃0𝑃=(12,12,0)，（14分）上式=13∗12=16（15分）五、（10分）设𝑋(𝑛)=sin(𝑈𝑛)，𝑛∈𝑁，这里𝑈为(0,2𝜋)上均匀分布的随机变量。证明：𝑋(𝑛)是宽平稳随机过程解：𝐸,𝑋(𝑛)-=∫sin(𝑡𝑛)12𝜋2𝜋0𝑑𝑡=0（4分）自相关函数RX(n,n+τ)=E,X(n)X(n+τ)-=∫sin(𝑡𝑛)sin,(𝑛+𝜏)𝑡-12𝜋2𝜋0𝑑𝑡=∫*cos(𝜏𝑡)+cos,(2𝑛+𝜏)𝑡-+12𝜋2𝜋0𝑑𝑡=∫cos(𝜏𝑡)12𝜋2𝜋0𝑑𝑡=sin(2πτ)2πτ⁄（9分）均值函数为常数，自相关函数只与τ有关，所以是平稳随机过程（10分）