车线动力学(车辆振动2)

第三节车辆振动方程的求解轮轨系统振动方程组：大型结构系统振动方程的特点：自由度多，振动方程的阶数高存在一个或多个非线性因素直接积分方法，得到振动量的时间历程时频转换，得到系统振动的频域特性}{}]{[}]{[}]{[PzKzCzM直接（数值）积分方法：离散时间振动中某一时刻的位移、速度、加速度可表达为以前各时刻值的线性组合。由初始条件开始，依次类推，求得振动方程组在所有时刻的解。不同的线性组合产生不同的积分方法，常用积分方法多达十数种。选择积分方法的主要原则：求解的稳定性足够的精度算法无“超调”现象解的稳定性：积分时间步长Δt选取后，位移、速度和加速度的积累误差不会随积分过程而增大。条件稳定和无条件稳定：条件稳定是指时间步长或积分方法中某些待定参数选在某一范围内时，该积分方法是稳定的，在其它范围则该算法不稳定。无条件稳定是指，在任何条件下，对任意积分步长Δt，振动方程的解都是稳定的。尽可能选择无条件稳定的积分方法。积分方法的精度以算法阻尼率和周期延长率衡量。•时间步长减小，算法阻尼率和周期相对误差减小时间振动参量真值计算值积分方法的超调现象：初始条件发生微小改变，某一项或几项振动量的计算结果出现巨大的差异。对于大型多自由度非线性系统，超调现象可能是由积分方法引起的，也有可能是非线性系统本身特性所决定，许多情况下很难区。尽可能采用无超调现象的积分方法。应用较广的直接积分方法：Houbolt方法Hilber－α方法Collocation方法（含wilson－θ法、Newmark法）Park方法等上述方法都有比较理想的精度和稳定特性。Park方法有较好的低频精度，很少出现超调现象，即使求解强非线性多自由度系统的振动问题，也是无条件稳定的。Park方法基于Gear的两步后差法和三步后差法，基本公式：2111211161510(61)61510(61nnnnnnnnnnzzzztzzzzztz改写为：311101311101}{}{}{}{}{}{jjnjnnjjnjnnzazazzazazatatatat0123106156116,,代入振动方程得到：)})1({}]{[)}(]{[)}()(]{[1010000120tnPzKzBzaCzBzBazMnnnnnna31103110)(,)(jjnjnjjnjnzazBzazB将二阶微分振动方程转化为代数方程：}{}]{[1BzAn][][][][020KCaMaA)}(]{[)}(]{[)}(]{[)})1(({}{0000nnnzBCzBMzBMatnpB振动微分方程组代数方程组广义位移列阵广义速度、加速度列阵全主元高斯消去法Park公式Park公式回代Park方法是线性多步法，不能自动启步，需借助其它单步法启步，即在前两步用另外方法。常用Wilson－θ法，表达式为：}){}({6}{5.0}{}{}{}){}{({2}{}{}{}){}({1}{}{22111nnnnnnnnnnnnzztztztzzzztztzzzzzz代入振动方程，得到：}{}]{[BzA}]{[31}{t[C](0.5-}{}]{[}]{[}{}{][6][5.0][][22nnnnnzKtzztzCzKPBKtCtMAWilson－θ等单步法，在求解非线性系统振动问题中很难找到稳定区，会造成明显的启步干扰，其影响波及改用Park方法后的60－100步。动力方程的积分计算时，总是进行若干步无效计算，待启步干扰完全消除后，再加入激励进行有效计算。第四节蠕滑力的计算与修正蠕滑理论是分析车辆横向振动、蛇形运动和曲线通过的基础，也是车辆系统和轨道系统在轮轨横向的最重要的振动耦合条件，是研究轮轨空间耦合振动中不可缺少的基础理论。一、蠕滑力的基本概念车轮通过曲线时，不可能总是出现纯滚动，车轮真实的前进速度并不等于其滚动形成的前进速度，车轮相对于钢轨会产生很微小的弹性滑动，即蠕滑。轮轨接触面上的切向力与轮轨间蠕滑的大小有关，即蠕滑力。自由轮对的纯滚动线决定于轮踏面锥率λ和曲线半径。Rsry100如轮对中心不在纯滚动线上，轮轨之间必然出现蠕滑，从而产生蠕滑力。轮对中心移向纯滚线之外时，外轮滚动半径大于纯滚动所需的半径，滚动超前。外轮产生向后蠕滑或滑动，内轮产生向前蠕滑，外轮所受的纵向蠕滑力与蠕滑方向相反，向前外轮与内轮上的纵向蠕滑力方向总是相反的，在小蠕滑情况下大小近似相等，形成一个蠕滑力偶。蠕滑力形成一个顺时针方向的力矩，有利于转向架转向，势必减小轮缘导向力的作用，对于大半径曲线，甚至完全实现轮踏面蠕滑导向。蠕滑的大小以蠕滑率（可简称蠕滑）表示，蠕滑率用车轮和钢轨上接触斑的刚体运动速度之差与平均刚体运动速度之比值加以定义。纵向蠕滑：1/11/11)(2VVVV1/12/22)(2VVVV1/1/333)(2VV横向蠕滑：自旋蠕滑：当线路曲线几何参数一定时，可依据轮对在曲线上的几何位置和运动速度计算出轮轨间的蠕滑率。蠕滑较小时，蠕滑力和蠕滑间为线性关系，可依据Kalker蠕滑理论计算；蠕滑较大时，蠕滑力与蠕滑率间呈非线性关系，蠕滑力依据Kalker理论计算后，还须进行蠕滑力的饱和判断，并采用Johnson三次曲线修正。在车轮产生大蠕滑以至打滑的情况下，蠕滑力趋向饱和，最大的蠕滑力即为库仑摩擦力。O点，纯滚动状态，切向力为零；O－A间，蠕滑状态，蠕滑力与蠕滑间服从Johnson三次曲线，蠕滑较小时，可简化为线性关系；A点后，饱和状态，库仑摩擦力，轮轨间滑动。二、蠕滑力计算曲线轨道上单个轮对T11T12T21T22yw,dyw/dtVφw,dφw/dt车轮上接触班的刚体速度)(])1(sin[)1(1013201wiiiiiwwiiiyVVrVrV钢轨上接触班的刚体速度0)1()1(/3/21111/1iwiwiiiysRVsVVV纵向蠕滑•横向蠕滑•自旋蠕滑wiwiiiyrVsRs0111111)1()1()1(wwiVy2VRrwii1)1(03已知蠕滑率后，可依据Kalker线性蠕滑理论求作用在车轮上的蠕滑力和力矩：333223332322221111iiiiiiiiiiiiiffMffTfT蠕滑力系数可根据轮轨间的垂向作用力值依据Hertz接触理论计算轮轨接触区域的尺寸后，计算得到。33233232/32322221111)()(iiiiiiiiiiiiiiiiCbaEfCbaEfCbEafCbEaf三、蠕滑力系数的计算车轮踏面与轨顶的接触符合Hertz接触假定，轮轨接触区域为一椭园，接触应力分布为一椭球：12222202bappabpp0长短半轴的方向取决于车轮半径与轨顶园弧半径的相对大小，当轨顶园弧半径小于车轮滚动园半径时，长轴沿钢轨方向，反之，长轴沿轮轴方向。最大接触应力为平均接触应力的1.5倍，即：pabPp5.1230轮轨接触可简化为两个椭球体的接触。定义常数：)1111(212121rrwwRRRRAB221221)11()11[(21wwrrRRRRAB2/102121]2cos)11)(11(2wwrrRRRR对于锥形踏面，忽略钢轨弯曲，忽略轮轨间的冲角，则有：)11(21rwRRAB)11(21wrRRAB轮轨接触椭园的长短半轴计算公式为：3)(23ABkPma3)(23ABkPnbEk21ABAB1cos（º）mn（º）mn00501.7540.641136.890.131551.6110.678106.6120.319601.4860.717203.7780.408651.3780.759253.1520.456701.2840.802302.7310.493751.2020.846352.3970.530801.1280.893402.1360.567851.0610.944451.9260.604901.0001.0000102030405060708090010203040mn积分常数常数角计算出接触椭园长短半轴后，可依据两者比值通过查表得到蠕滑力系数中的计算常数。a/bC11C22C23C33b/aC11C22C23C330.13.312.520.4738.821.04.123.671.471.190.23.372.630.6034.270.94.223.811.591.110.33.442.750.7152.960.84.363.991.751.040.43.532.880.8232.320.74.544.211.950.9650.53.623.010.9291.930.64.784.502.230.8920.63.723.141.031.680.55.104.902.620.8190.73.813.281.141.500.45.575.483.240.7470.83.913.411.251.370.36.346.404.230.6740.94.013.541.361.270.27.788.146.630.6010.111.712.814.60.526四、蠕滑力的饱和判断及修正合成蠕滑力未超过库仑静摩擦力时，轮轨间表现为蠕滑；合成蠕滑力大于等于库仑摩擦力时，蠕滑力达到饱和，轮轨间出现滑动，蠕滑力取为库仑摩擦力。Kalker线性蠕滑理论只在轮轨间出现小蠕滑时才成立，蠕滑稍大时蠕滑力即成为曲线。Johnson认为蠕滑力符合三次曲线，不论轮轨间蠕滑是否达到饱和，只要认为蠕滑较大时就要对Kalker理论计算得到的蠕滑力进行修正。轮轨间蠕滑约为3/f，蠕滑力达到饱和，按线性蠕滑理论计算的蠕滑力已达到库仑摩擦力的3倍。03/f2/f1/fT库化摩擦力2倍库化摩擦力3倍库化摩擦力PP2P3P96.0P7.0A1AB1B合成蠕滑力：•蠕滑力修正系数：TTiiiRT2221μPT,TμPμP,T)μPT()μPT(iiRiRiiiRiiRiiR332713112/振动分析中，蠕滑力要进行迭代。因蠕滑力三次曲线是凸曲线，迭代收敛速度很快。轮对位移和速度初值蠕滑力建立方程及方程求解轮对位移和速度值蠕滑力及修正蠕滑力精度下一步是否