解析几何基础知识汇总

1解析几何基础知识1.平行与垂直若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：(1)直线l1∥l2的充要条件是：k1＝k2且b1≠b2(2)直线l1⊥l2的充要条件是：k1·k2＝－12．三种距离(1)两点间的距离平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.特别地，原点(0,0)与任意一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2(3)两条平行线的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B23、圆的方程的两种形式①．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为(a，b)，半径为r的圆．②．圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③－D2，－E2，半径为12D2＋E2－4F的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点－D2，－E2；(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．4、直线与圆的位置关系①．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有：几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离②．直线与圆相交直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝d2＋l22，即l＝2r2－d2，求弦长或已知弦长求解问题，一般用此公式．5、两圆位置关系的判断两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r＞0)，(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0)的圆心距为d，则1．d＞r1＋r2⇔两圆外离；2．d＝r1＋r2⇔两圆外切；3．|r1－r2|＜d＜r1＋r2(r1≠r2)⇔两圆相交_；4．d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；25．0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含6.椭圆一、椭圆的定义和方程1．椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点.定义中特别要注意条件2a＞2c，否则轨迹不是椭圆；当2a＝2c时，动点的轨迹是线段；当2a＜2c时，动点的轨迹不存在。2．椭圆的方程(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．二、椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：坐标原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)性质轴长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b237.双曲选一、双曲线的定义平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距.二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围④x≥a或x≤－a⑤_y≥a或y≤－a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：坐标原点对称轴：x轴，y轴对称中心：坐标原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)性质渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴，b叫做双曲线的虚半轴a、b、c关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)48．抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0），它的准线方程是2px；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：[一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）]标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0x0x0y0y对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e1e1e1e说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。2.焦点弦(以抛物线y2＝2px(p＞0)为例)设AB是过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p；|AB|min＝2p；x1·x2＝p24；y1·y2＝－p；|AF|＝x1＋p2,|BF|＝x2＋p2.oFxyloxyFlxyoFl