幂函数经典例的题目(答案)

实用标准文案精彩文档幂函数的概念例1、下列结论中，正确的是()A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．幂函数的图象可以出现在第四象限C．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y＝xα是增函数D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案C例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x15(7＋3t－2t2)(t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值．分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设pq(|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝xpq是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xpq的奇偶性与p的值相对应．解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，∴t＝－1,1或0.当t＝0时，f(x)＝x75是奇函数；当t＝－1时，f(x)＝x25是偶函数；当t＝1时，f(x)＝x85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t＝1且f(x)＝x85或t＝－1且f(x)＝x25.点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视．例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则()实用标准文案精彩文档A．-1n0m1B．n－1,0m1C．－1n0，m1D．n－1，m1解析在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0m1，n－1.答案B点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴．例4、已知x2x13，求x的取值范围．错解由于x2≥0，x13∈R，则由x2x13，可得x∈R.错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α1和0α1两种情况下图象的分布．正解作出函数y=x2和y=31x的图象(如右图所示)，易得x0或x1.例5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.解根据幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3.点评幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．实用标准文案精彩文档变式已知y＝(m2＋2m－2)x1m2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．解由题意得m2＋2m－2＝1m2－1≠02n－3＝0，解得m＝－3n＝32，所以m＝－3，n＝32.例6、比较下列各组中两个数的大小：（1）535.1，537.1；（2）0.71.5，0.61.5；（3）32)2.1(－－，32)25.1(－－．解析：（1）考查幂函数y＝53x的单调性，在第一象限内函数单调递增，∵1.5＜1.7，∴535.1＜537.1，（2）考查幂函数y＝23x的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，∵32)2.1(－－＝322.1－，32)25.1(－－＝3225.1－，又322.1－＞3225.1－，∴32)2.1(－－＞3225.1－．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．例7、比较下列各组数的大小(1)3－52与3.1－52；(2)－8－78与－1978.分析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用0与1去比较，这种方法叫“搭桥”法．解(1)函数y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又33.1，所以3－523.1－52.(2)－8－78＝－1878，函数y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，又1819，则18781978，从而－8－78－1978.实用标准文案精彩文档点评比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式比较下列各组数的大小：(1)－23－23与－π6－23；(2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.解(1)－23－23＝23－23，－π6－23＝π6－23，∵函数y＝x－23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23π6，∴－23－23＝23－23π6－23＝－π6－23.(2)(4.1)25125＝1,03.8－231－23＝1，(－1.9)350，所以(－1.9)353.8－23(4.1)25.例8、已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－m3(3－2a)－m3的a的范围．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m－90，解得m3，又m∈N*，∴m＝1,2.又函数图象关于y轴对称，∴3m－9为偶数，故m＝1，∴有(a＋1)－13(3－2a)－13.又∵y＝x－13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a＋13－2a0或0a＋13－2a或a＋103－2a，解得23a32或a－1.点评(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，且画出它的图象．解由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3，当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意．当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，其图象如图①所示．当m＝1时，y＝x－4，其图象如图②所示．实用标准文案精彩文档练习一、选择题1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n＝0时，y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n0时，是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小．其中正确的是()A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤答案D2．下列函数中，不是幂函数的是()A．y＝2xB．y＝x－1C．y＝xD．y＝x2答案A3．设α∈－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y＝x下方的偶函数是()A．y＝x12B．y＝x－2C．y＝x2D．y＝x－1答案B5．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的图象不过原点，则m的取值是()A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1答案B解析由已知m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0∴m＝1或m＝2.6．在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1(x≠0)中幂函数的个数为()A．1B．0C．2D．3答案C解析依据幂函数的定义判定，应选C.7．幂函数f(x)的图象过点4，12，那么f(8)的值为()实用标准文案精彩文档A．26B．64C.24D.164答案C解析设f(x)＝xα(α为常数)，将4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f(x)＝x－12，∴f(8)＝8－12＝24.8．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是()A．y＝2xB．y＝x2C．y＝x－2D．y＝logax(a0，且a≠1)答案B解析根据函数图象，选B.二、填空题1．若幂函数y＝f(x)的图象经过点9，13，则f(25)＝_____________.答案15解析设f(x)＝xα，则9α＝13，α＝－12.∴f(25)＝25－12＝15.2．设幂函数y＝xα的图象经过点(8,4)，则函数y＝xα的值域是______________．答案[0，＋∞)解析由4＝8α，得α＝23，∴y＝x23≥0.3.如图所示是幂函数y=xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α依次为.答案2，12，－12，－24．若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，2)，则f(25)的值是________．答案5解析设y＝xα，∵点(2，2)在y＝xα的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f(x)＝x12.故f(25)＝2512＝5.5．幂函数y＝xα(α∈R)的图象一定不经过第________象限．答案四6．把下列各数223，53－13，－233，150，3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案－23353－131503223223.实用标准文案精彩文档7．已知幂函数f(x)＝x－12，若f(a＋1)f(10－2a)，则a的取值范围是________．答案3a5解析f(x)＝x－12＝1x(x0)，由图象知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)f(10－2a)，∴a＋10，10－2a0，a＋110－2a.得a－1，a5，a3.∴3a5.三、解答题1．求函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）值域．解析：设t＝x51，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．当t＝－1时，ymin＝3．∴函数y＝52x＋2x51＋4（x≥－32）的值域为［3，＋）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．2．已知f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m是何值时，f(x)是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．解(1)若f(x)为正比例函数，则m2＋m－1＝1m2＋2m≠0，∴m＝1.(2)若f(x)为反比例函数，则m2＋m－1＝－1m2＋2m≠0，∴m＝－1.(3)若f(x)为二次函数，则m2＋m－1＝2m2＋2m≠0，∴m＝－1±132.(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2。3．已知点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点－2，14在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)g(x)．解设f(x)＝xα，由题意得：2＝(2)2⇒α＝2，∴f(x)＝x2.实用标准文案精彩文档同理可求：g(x)=x-2，在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x1或x-1时，f(x)g(x)．(2)当x=±1时，f(x)=g(x)．(3)当-1x0或0x1时，f(x)g(x)．4．已知函数y＝(a2－3a＋2)xa2－5a＋5(a为常数)．(1)a为何值时此函数为幂函数？(2)a为何值时此函数为正比例函数？(3)a为何值时此函数为反比例函数？解(1)由题意，得a2－3a＋2＝1，即a2－3a＋1＝0.解得a＝3