搜索
16世纪下半叶，两个巨星般的人物：牛顿和莱布尼兹，照亮了整个科学的天空。迄今为止，他们的思想和方法仍然深刻地影响着我们的思维。他们，开创了数学的一个重要的分支：分析学。所谓函数，起源于映射。而映射，所揭示的是一个变量和另一个变量的关系。而对于一个变元和另一个变量之间的关系，如果仅仅从直观的角度来研究的话，很难得到精确而清晰的论证。分析学的作用，就在于此，通过研究小的部分，然后再将小的部分累加起来，就能得出对整体的基本理解。直观地看来，“小”和“大”的概念似乎没有什么值得商榷的。但是转念一想，却发现我们并不能说清什么是小，什么是大。的确，小和大永远是相对的，单纯说小或者大就和说大约、大概一样，并不是严格的定义。因此，分析学研究的对象往往是极小和极大：即把东西拆成无数个极小，研究每个极小的性质。然后又将极小累加成极大，再研究极大的性质。拆成极小的过程，就是微分，而合并起来的过程，就是积分。通过研究局部，然后再通过联系而研究整体，这种思考的方式可谓是伟大的进步。而牛顿和莱布尼兹则分别从物理和几何两个角度得出了这个概念。牛顿是从位移——速度——加速度之间的关系而得出微积分的基本概念，而莱布尼兹则是从几何上的切线的意义定义了微商的含义。从现在的角度来看，他们的定义还是十分简陋、缺乏严密逻辑的。但是，经过后世的柯西和魏尔斯特拉斯等数学家们的不断完善，分析学已经成为了数学最重要的分支之一。其主要的工具，就是微积分。有趣的是，牛顿和莱布尼兹虽然都是跨时代的巨星的人物，但是他们二人之间的矛盾确是如火如荼。晚年的牛顿从事仕途，并想用数学方法证明上帝的存在。这种无谓的行为耗费了他大量的光阴。此外，他还一直私下动手脚，就想把莱布尼兹搞臭。在当时的欧洲，尤其是英国，牛顿已经是仅次于上帝一样的人物，因此，莱布尼兹遭到了冷遇。实际上，莱布尼兹的微分和积分符号是明显优越于牛顿的，因为对牛顿的盲目崇拜，导致了当时分析学发展的阻碍。相反，莱布尼兹虽然遭受冷遇，他对牛顿的评价仍然是很高的。但是，瑕不掩玉。牛顿将微积分应用于物理的思想引起了自然科学的伟大革命，使得数学作为工具广泛应用于科学的各个领域。分析学发展到后面就是微分方程，之后又包括了实变函数、复变函数两个分支。微分方程中包括已经被人们熟知的常微分方程，并发展成为控制理论。而控制理论又直接应用于金融行业，形成金融数学。想从事金融行业和经济行业的朋友们可以选择这一条道路，如果真的弄清楚了，基本上就是财源滚滚喽！微分方程的另一个领域是偏微分方程，即有多个变元的微分方程。借用解析几何的方程形式，分为椭圆型、双曲型、抛物线型。椭圆型的研究已经基本告一段落，双曲型的研究至今没有什么突破性的进展。而抛物线型方程最近几年研究蓬勃兴起，趋势看好。分析学的基础不断深化之后，诞生了实变函数和复变函数。实变函数是一个困难的学科，只有经过艰苦的学习才能克服这种困难。实变函数深化之后就是泛函分析，并分为了线性数学理论和非线性数学理论。前者的体系已经很完备，大厦已经建成。而后者正在蓬勃发展中，有着极大的潜力。复变函数分为单复变函数和多复变函数。明显地，后者的难度远远高于前者。而正所谓“无限风光在险峰”，后者也更容易有突破性的进展。以上就是分析学的基本内容和发展。然而，分析学本身其实也面临一些挑战。分析学可以方便地引用于物理、化学等基础学科。可在生命科学领域，分析学似乎就有些捉襟见肘了。毕竟，并不是所有的细胞器组合起来就能诞生一个活的细胞，也不是所有活的细胞组成起来就能诞生一个活着的个体。其中，仍然缺少着什么。辩证唯物主义告诉我们，整体大于部分之和，这多出的东西分析学是很难解释的。时代正在进步，方法论也需要更新。因此，我们需要一个新的数学工具。而这个工具，在我看来，应该脱胎于分析学之中，青出于蓝而胜于蓝。上面我简单地介绍了一下数学中最重要的分支之一：分析学。分析学是数学最最基础的科目，也是培养人逻辑思维、科学精神的重要工具。掌握分析学，可以锻炼我们的思维，使我们的思想更加严格、精确。下一篇文章我将向大家数学建模。更新时间不定，望大家多多包涵。英国人牛顿（1643-1727）和德国人莱布尼茨（1646-1716）是同时代的，几百年才能出一两个的两位天才大师。前者在物理学和数学上作出了划时代的贡献，后者更是是历史上少见的通才，他的专长包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等领域，被国际公认为是十七世纪的亚里士多德，他的伟大贡献，对后来的康德和罗素的思想均产生了巨大的影响。牛顿和莱布尼茨两位大师伟大发明的交汇点是微积分。莱布尼茨与牛顿的微积分发明之谁先谁后的争论，在数学界至今还是一桩公案。莱布尼茨于1684年发表第一篇微分论文，定义了微分概念，采用了微分符号dx，dy。1686年他又发表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符号∫。依据莱布尼茨的笔记本，1674年11月11日他便已完成一套完整的微分学。从史实上看，牛顿确是在1667年就手稿完成了代表了微积分发明的《流数法》（发表时间为1671年），从手稿完成的时间看，牛顿确是比莱布尼茨早了七年。但莱布尼茨的微积分发明比牛氏的更完善，而且囿于当年通迅条件和学术交流条件的限制，莱布尼茨完全是在独立的情况下发明微积分的。英国当时是最老牌的资本主义国家，自然也是牛气一点。1695年英国学者就宣称：微积分的发明权属于牛顿；1699年又说：牛顿是微积分的“第一发明人”。更可笑的，是1712年英国皇家学会居然成立了一个机构，专门调查此案，1713年发布公告，确认了牛顿是微积分的“第一发明人”。这样，莱布尼茨直至去世后的几年，都受到了冷遇。由于对牛顿的盲目崇拜，英国学者长期固守于牛顿的“流数术”，只用牛顿的“流数”符号，不屑采用莱布尼茨更优越的符号。以致英国的数学脱离了数学发展的时代潮流。岛国国民的心态，很是明显。其实，这些无谓的争论，均是一些外面的学痞、学阀在瞎胡闹。当事人牛顿和莱布尼茨两位，均是谦逊礼让。牛顿对他同时代的莱布尼茨，态度极为诚恳，他在《自然哲学的数学原理》一书的第一版中，毫不含糊地承认了莱布尼茨的天才。而莱布尼茨对牛顿的评价非常的高，1701年，在柏林宫廷的一次宴会上，普鲁士国王询问莱布尼茨对牛顿的看法，莱布尼茨说道“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半”。1665年夏天，因为英国爆发鼠疫，剑桥大学暂时关闭。刚刚获得学士学位、准备留校任教的牛顿被迫离校到他母亲的农场住了一年多。这一年多被称为“奇迹年”，牛顿对三大运动定律、万有引力定律和光学的研究都开始于这个时期。在研究这些问题过程中他发现了他称为“流数术”的微积分。他在1666年写下了一篇关于流数术的短文，之后又写了几篇有关文章。但是这些文章当时都没有公开发表，只是在一些英国科学家中流传。首次发表有关微积分研究论文的是德国哲学家莱布尼茨。莱布尼茨在1675年已发现了微积分，但是也不急于发表，只是在手稿和通信中提及这些发现。1684年，莱布尼茨正式发表他对微分的发现。两年后，他又发表了有关积分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推动下，莱布尼茨的方法很快传遍了欧洲。到1696年时，已有微积分的教科书出版。起初没有人来争夺微积分的发现权。1699年，移居英国的一名瑞士人一方面为了讨好英国人，另一方面由于与莱布尼茨的个人恩怨，指责莱布尼茨的微积分是剽窃自牛顿的流数术，但此人并无威望，遭到莱布尼茨的驳斥后，就没了下文。1704年，在其光学著作的附录中，牛顿首次完整地发表了其流数术。当年出现了一篇匿名评论，反过来指责牛顿的流数术是剽窃自莱布尼茨的微积分。于是究竟是谁首先发现了微积分，就成了一个需要解决的问题了。1711年，苏格兰科学家、英国皇家学会会员约翰•凯尔（JohnKeill）在致皇家学会书记的信中，指责莱布尼茨剽窃了牛顿的成果，只不过用不同的符号表示法改头换面。同样身为皇家学会会员的莱布尼茨提出抗议，要求皇家学会禁止凯尔的诽谤。皇家学会组成一个委员会调查此事，在次年发布的调查报告中认定牛顿首先发现了微积分，并谴责莱布尼茨有意隐瞒他知道牛顿的研究工作。此时牛顿是皇家学会的会长，虽然在公开的场合假装与这个事件无关，但是这篇调查报告其实是牛顿本人起草的。他还匿名写了一篇攻击莱布尼茨的长篇文章。当然，争论并未因为这个偏向性极为明显的调查报告的出笼而平息。事实上，这场争论一直延续到了现在。没有人，包括莱布尼茨本人，否认牛顿首先发现了微积分。问题是，莱布尼茨是否独立地发现了微积分？莱布尼茨是否剽窃了牛顿的发现？1673年，在莱布尼茨创建微积分的前夕，他曾访问伦敦。虽然他没有见过牛顿，但是与一些英国数学家见面讨论过数学问题。其中有的数学家的研究与微积分有关，甚至有可能给莱布尼茨看过牛顿的有关手稿。莱布尼茨在临死前承认他看过牛顿的一些手稿，但是又说这些手稿对他没有价值。牛顿－莱布尼茨之争(2)此外，莱布尼茨长期与英国皇家学会书记、图书馆员通信，从中了解到英国数学研究的进展。1676年，莱布尼茨甚至收到过牛顿的两封信，信中概述了牛顿对无穷级数的研究。虽然这些通信后来被牛顿的支持者用来反对莱布尼茨，但是它们并不含有创建微积分所需要的详细信息。莱布尼茨在创建微积分的过程中究竟受到了英国数学家多大的影响，恐怕没人能说得清。后人在莱布尼茨的手稿中发现他曾经抄录牛顿关于流数术的论文的段落，并将其内容改用他发明的微积分符号表示。这个发现似乎对莱布尼茨不利。但是，我们无法确定的是，莱布尼茨是什么时候抄录的？如果是在他创建微积分之前，从某位英国数学家那里看到牛顿的手稿时抄录的，那当然可以做为莱布尼茨剽窃的铁证。但是他也可能是在牛顿在1704年发表该论文时才抄录的，此时他本人的有关论文早已发表多年了。后人通过研究莱布尼茨的手稿还发现，莱布尼茨和牛顿是从不同的思路创建微积分的：牛顿是为解决运动问题，先有导数概念，后有积分概念；莱布尼茨则反过来，受其哲学思想的影响，先有积分概念，后有导数概念。牛顿仅仅是把微积分当做物理研究的数学工具，而莱布尼茨则意识到了微积分将会给数学带来一场革命。这些似乎又表明莱布尼茨像他一再声称的那样，是自己独立地创建微积分的。即使莱布尼茨不是独立地创建微积分，他也对微积分的发展做出了重大贡献。莱布尼茨对微积分表述得更清楚，采用的符号系统比牛顿的更直观、合理，被普遍采纳沿用至今。因此现在的教科书一般把牛顿和莱布尼茨共同列为微积分的创建者。实际上，如果这个事件发生在现在的话，莱布尼茨会毫无争议地被视为微积分的创建者，因为现在的学术界遵循的是谁先发表谁就拥有发现权的原则，反对长期对科学发现秘而不宣。至于两人之间私下的恩怨，谁说得清呢？尤其是在有国家荣耀、民族情绪参与其中时，更难以达成共识。牛顿与莱布尼茨之争，演变成了英国科学界与德国科学界、乃至与整个欧洲大陆科学界的对抗。英国数学家此后在很长一段时间内不愿接受欧洲大陆数学家的研究成果。他们坚持教授、使用牛顿那套落后的微积分符号和过时的数学观念，使得英国的数学研究停滞了一个多世纪，直到1820年才愿意承认其他国家的数学成果，重新加入国际主流。牛顿与莱布尼茨之争无损于莱布尼茨的名声，对英国的科学事业却是一场灾难。虽然说“科学没有国界，但是科学家有祖国”（巴斯德语），但是让民族主义干扰了科学研究，就很容易变成了科学也有国界，被排斥于国际科学界之外，反而妨碍了本国的科学发展