同济大学出版社-线性代数课件(完整版)

主讲：韩信专业：运筹学与控制论线性代数1．用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa，得两式相减消去2x(1)(2);212221121122211baabxaaaa）（在中学，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有大量的未知数，并且未知数的个数与方程的个数也不一定相等.我们先讨论未知数的个数与方程的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.4第一章行列式•内容提要§1二阶与三阶行列式§2全排列和对换§3n阶行列式的定义§4行列式的性质§5行列式按行（列）展开行列式的定义.行列式的性质及计算.•行列式是线性代数的一种工具！•学习行列式主要就是要能计算行列式的值.5§1二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.一、二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解11112212112222axaxbaxaxb211211221122211)(abbaxaaaa212221121122211)(baabxaaaa021122211aaaa211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax求解公式为二元线性方程组请观察，此公式有何特点？分母相同，由方程组的四个系数确定.分子、分母都是四个数分成两对相乘再相减而得.11112212112222axaxbaxaxb122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa其求解公式为二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.记号数表表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即其中，称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；j为列标，表明元素位于第j列.原则：横行竖列11112212112222axaxbaxaxb122122111221221112121211221221baabxaaaaabbaxaaaa1112112212212122aaDaaaaaa11122122aaaa11122122aaaa11221221aaaa(1,2;1,2)ijaij二阶行列式的计算主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积——对角线法则11122122aaaa11221221aaaa二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为11112212112222axaxbaxaxb11122122aaDaa1211222bbaDa1221121baDab1122122111221221DDbaabxaaaa1121212211221221abbaDxaaaaD例1求解二元线性方程组解因为所以1212232121xxxx1223D07)4(314)2(12112121D21243121232D11142,7DxD222137DxD二、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表原则：横行竖列引进记号称为三阶行列式.主对角线副对角线二阶行列式的对角线法则并不适用！111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa三阶行列式的计算——对角线法则注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.111213212223313233aaaDaaaaaa132132aaa112233aaa122331aaa132231aaa122133aaa112332aaa例2计算行列式解按对角线法则，有12-4-221-34-2DD4)2()4()3(12)2(21)3(2)4()2()2(241124843264.14方程左端解由得例3求解方程2111230.49xx1229184322xxxxD,652xx2560xx3.2xx或§2全排列及其逆序数问题把n个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？定义把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.显然即n个不同的元素一共有n!种不同的排法.(1)(2)321!nPnnnn所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.3个不同的元素一共有3!=6种不同的排法123，132，213，231，312，321对于n个不同的元素，可规定各元素之间的标准次序.n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考题：还能找到其它逆序吗？答：2和1，3和1也构成逆序.21定义排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的逆序数通常记为.奇排列：逆序数为奇数的排列.偶排列：逆序数为偶数的排列.思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列.12niii12()ntiii计算排列的逆序数的方法则此排列的逆序数为设是1,2,…,n这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序.先看有多少个比大的数排在前面，记为；再看有多少个比大的数排在前面，记为;……最后看有多少个比大的数排在前面，记为;12ntttt12nppp1p1p1t2p2p2tnpnpnt例1：求排列52341的逆序数.解：练习：求排列541326的逆序数.解：8032210)541326(t741110)52341(t§3n阶行列式的定义一、概念的引入规律：1.三阶行列式共有6项，即3!项．2.每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa123123pppaaa123ppp123ppp123ppp所以，三阶行列式可以写成其中表示对1、2、3的所有排列求和.二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.123123123()123(1)tpppppppppaaa123ppp111213212223313233aaaDaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa二、n阶行列式的定义1.n阶行列式共有n!项．2.每一项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积．3.每一项可以写成（正负号除外），其中是1,2,…,n的某个排列.4.当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.简记作，其中为行列式D的(i,j)元1212nppnpaaa12nppp12nppp12nppp1212121112121222()1212(1)nnnnntpppppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaadet()ijaija思考题：成立吗？答：符号可以有两种理解：若理解成绝对值，则；若理解成一阶行列式，则.注意：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式.111111111例：写出四阶行列式中含有因子的项.例：计算行列式解：和111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa2311aa11233244aaaa11233442.aaaa142323241000000000000aaDaa112213344000000000000aaDaa112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa解：其中112213344000000000000aaDaa142323241000000000000aaDaa11223344aaaa(4321)14233341(1)taaaa14233341aaaa(4321)0123t346.2111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa11223344aaaa14233341aaaa四个结论：(1)对角行列式(2)12,11nnnaaDa1122nnaaDannaaa2211(1)212,11(1)nnnnnaaa(3)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）nnnnaaaaaaD21222111000nnnnaaaaaaD00022211211nnaaa2211nnaaa2211思考题已知，求的系数.1211123111211xxxxxf3x36故的系数为－1.解含的项有两项，即对应于3x1211123111211xxxxxf124311223443(1)taaaa(1234)11223344(1)taaaa(1234)311223344(1),taaaax1243311223443(1)2taaaax3x§4对换一、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．例如111lmnaabbcbca11lmabaabb11lmbaaabb111lmnaabbcacb备注1.相邻对换是对换的特殊情形.2.一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.3.如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.m次相邻对换m+1次相邻对换m次相邻对换m+1次相邻对换111lmnaabbcbca111lmnaabbcbca111lmnaabbcacb111lmnaabbcacb111lmnaabbcbca二、对换与排列奇偶性的关系定理1对换改变排列的奇偶性.证明先考虑相邻对换的情形．11lmabaabb11lmbaaabb11lmabaabbttttttt11lmbaaabbrrtttrt注意到除外，其它元素的逆序数不改变.11lmabaabb11lmbaaabb11lmabaabbttttttt11lmbaaabbrrtttrt,ab当时，，，.当时，，，.因此相邻对换改变排列的奇偶性.11lmabaabb11lmbaaabb11lmabaabbttttttt11lmbaaabbrrtttrtabab1aartbbrtaart1bbrt1rt1rt既然相邻对换改变排列的奇偶性，那么2m+1次相邻对换因此，一个排列中的任意两个元素对换，排列的奇偶性改变.推论奇排列变成标准排