因式分解的多种方法(初中版)

1因式分解的方法(初中版)因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：22x-3x=0解：x(2x-3)=01x=0,2x=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例二：2x-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=22，适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数21.aa的积21.aa，把常数项c分解成两个因数21.cc的积21.cc，并使1221caca正好是一次项b，那么可以直接写成结果例三：把22x-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：23=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：11╳231×3+2×1=513╳211×1+2×3=71-1╳2-31×(-3)+2×(-1)=-51-3╳2-11×(-1)+2×(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式2ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=21.aa，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=21.cc，把2121,,,ccaa，排列如下：1a1c╳2a2c1221caca3按斜线交叉相乘，再相加，得到1221caca，若它正好等于二次三项式2ax+bx+c的一次项系数b，即1221caca=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式1ax+c1与22cxa之积，即2ax+bx+c=(1ax+1c)(2ax+2c).这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。4】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来需要可持续性！例四：2244yxx可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=22)2(yx=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。5】换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上例五：1)(2)(2yxyx分解因式考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y那么原式=2a-2a+1=2)1(a回代原式=2)1(yx46】主元法这种方法要难一些，多练即可即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数例六：4222)1()1(216xyyxy分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。原式=yxyxy16)1(2)1(2242---------------------【主元法】=)2)(82(22222xyxyxyx---------------------【十字相乘法】可见，十字相乘十分重要。7】双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如feydxcybxyax22的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k）要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，例七：22babab分解因式解：原式＝0×1×2a＋ab＋2b＋a－b－2＝（0×a＋b＋1）（a＋b－2）＝（b＋1）（a＋b－2）58】待定系数法将式子看成方程，将方程的解代入这时就要用到1】中提到的知识点了当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式例八：2x+x-2该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做，2x+x-2=0一眼看出，该方程有一根为x=1那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2（因为乘-1要为-2）一次项系数必为1（因为与1相乘要为1）所以另一因式为（x+2）分解为(x-1)(x+2)9】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上不足的项要用0补除的时候，一定要让第一项抵消例九：25323xx分解因式提示：x=-1可以使该式=0，有因式（x+1）6那么该式分解为（x+1）(23x+2x-2)因式分解还有许多方法，只是不太常见，就不在此列举了。考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。22)()(babab2222)(4)(axaxxa3222223963cabcbacbaxy＋6－2x－3y22)3(4)3)(3(4)3(babababa(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)12x^2－29x＋15x(y＋2)－x－y－173244422yxyxyx21120132234xxxx3355227222yxyxyx22384nmnm15442nn5ax+5bx+3ay+3by12a2b(x－y)－4ab(y－x)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)x2－11x＋24y2－12y－28x2＋4x－5y4－3y3－28y2蚊子与牛一样重从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。它认为，可以设自己的体重为a,牛的体重为b，则有：a2－2ab＋b2=b2－2ab＋a2左右两边分别因式分解为：(a－b)2=(b－a)2从而就有：a－b=b－a移项，得：2a=2b,即a=b蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！①请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样，那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？②讲这个例子的目的何在？