育才小升初内部辅导—容斥原理

1容斥原理知识点连接：一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数。公式为：ABABAB（其中符号“”表示并集，“”表示交集）这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。要计算两个集合A、B的并集AB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A+B(意思是把A、B两个集合中的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．1.实验小学四年级一班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？2.某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？3.实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？4.某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？25.对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人。两项都会的有10人，两项都不会的有9人。这个班一共有多少人？6.在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？7.一次数学测验，甲答错题目总数的14，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的16。求甲、乙都答对的题目数。二、三量重叠问题A、B、C三个集合元素个数的总和=A集合元素的个数+B集合元素的个数+C集合元素的个数-既是A集合又是B集合元素个数-既是B集合又是C集合元素个数-既是A集合又是C集合元素个数+同时是A、B、C三个集合的元素个数。公式如下：ABCABCABBCACABCUUIIIII计算步骤如下：第一步：先包含，A+B+C；第二步：再排除，A+B+C-AB-AC-BC；第三步：再包含，A+B+C-AB-AC-BC+ABC。1.某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人。其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人，而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？2.某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球，没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。问：既爱打篮球又爱打排球的有几人？33.四年级一班有46名学生参加3项课外活动。其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数。4.五年级三班学生参加课外兴趣小组，每人至少参加一项。其中有25人参加自然兴趣小组，35人参加美术兴趣小组，27人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人，参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人，参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人，语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人。求这个班的学生人数。三、容斥原理在数论中的应用1.在1——100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？2.在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?3.以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？4.50名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?5.在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份；如果沿每条刻度线将木棍锯断，则木棍总共被锯成多少段？4四、图形中的重叠问题1.一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。2.三个面积均为50平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是100厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？3.如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于60平方厘米．阴影部分的面积总和是40平方厘米，3张板盖住的总面积是100平方厘米，3张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？五、容斥原理中的最值问题1.某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？2.60人中有23的人会打乒乓球，34的人会打羽毛球，45的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，问：这三项运动都不会的最多有多少人？3.如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星．如果每条线段上恰有1994个点被染成红色，那么在这个五角星上红色点最少有多少个?CBA101064812