2016年北京市高考数学试卷(理科)

第1页共11页2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第Ⅰ部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合{|||2}Axx，32101，，，，B，则AB（）（A）10，（B）210，，（C）101，，（D）2101，，，（2）若x，y满足20,3,0,xyxyx≤≤≥则2xy的最大值为（）（A）0（B）3（C）4（D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a，b是向量．则“||||ab”是“||||abab”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知Ryx，，且0xy，则（）（A）110xy（B）sinsin0xy（C）11022xy（D）lnln0xy（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）（A）16（B）13（C）12（D）11俯视图正（主）视图侧（左）视图111第2页共11页（7）将函数sin(2)3yx图象上的点(,)4Pt向左平移(0)ss个单位长度得到点P.若P位于函数sin2yx的图象上，则（）（A）12t，s的最小值为6（B）23t，s的最小值为6（C）12t，s的最小值为3（D）23t，s的最小值为3（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第Ⅱ部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9）设aR，若复数(1i)(i)a在复平面内对应的点位于实轴上，则a．（10）在6(12)x的展开式中，2x的系数为．（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2cos交于,AB两点，则||AB．（12）已知{}na为等差数列，nS为其前n项和．若16a，350aa，则6S．（13）双曲线0012222babyax，的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a．（14）设函数33,,()2,.xxxafxxxa≤①若0a，则()fx的最大值为；②若()fx无最大值，则实数a的取值范围是．第3页共11页三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题13分）在ABC中，2222acbac．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求2coscosAC的最大值．（16）（本小题13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A组66.577.58B组6789101112C组34.567.5910.51213.5（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和1的大小．（结论不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABDA，1AB，2AD，5ACCD．（Ⅰ）求证：PD平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．PDCBA第4页共11页（18）（本小题13分）设函数()eaxfxxbx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为(e1)4yx．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求()fx的单调区间．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，(,0)Aa，(0,)Bb，(0,0)O，OAB的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：||||ANBM为定值．（20）（本小题13分）设数列12:,,,NAaaa(2)N≥．如果对小于(2)nnN≤≤的每个正整数k都有knaa，则称n是数列A的一个“G时刻”．记()GA是数列A的所有“G时刻”组成的集合．（Ⅰ）对数列:2,2,1,1,3A，写出()GA的所有元素；（Ⅱ）证明：若数列A中存在na使得1naa，则()GA；（Ⅲ）证明：若数列A满足11nnaa≤(2,3,,)nN，则()GA的元素个数不小于1Naa．第5页共11页2016年北京高考数学（理科）答案与解析1.C【解析】集合{|22}Axx，集合{|1,0,1,2,3}Bx，所以{1,0,1}AB.2.C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为1,2，最大值为2124.3.B【解析】开始1a，0k；第一次循环12a，1k；第二次循环2a，2k，第三次循环1a，条件判断为“是”跳出，此时2k.4.D【解析】若=ab成立，则以a，b为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+ab，ab表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=abab不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=abab成立，则以a，b为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=ab不一定成立，从而不是必要条件.5.C【解析】A.考查的是反比例函数1yx在0,单调递减，所以11xy即110xy所以A错；B.考查的是三角函数sinyx在0,单调性，不是单调的，所以不一定有sinsinxy，B错；C.考查的是指数函数12xy在0,单调递减，所以有1122xy即11022xy所以C对；D考查的是对数函数lnyx的性质，lnlnlnxyxy，当0xy时，0xy不一定有ln0xy，所以D错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h，底面积111122S，所1,2()2x+y=02x-y=0x=0x+y=3第6页共11页以体积1136VSh.7．A【解析】点π,4Pt在函数πsin23yx上，所以πππ1sin2sin4362t，然后πsin23yx向左平移s个单位，即πsin2()sin23yxsx，所以π+π,6skkZ，所以s的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B．9.1【解析】11ii1iaaa∵其对应点在实轴上∴10a，1a10.60【解析】由二项式定理得含2x的项为2226C260xx11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cosx，siny直线的直角坐标方程为310xy∵2cos，222sincos2cos∴222xyx圆的直角坐标方程为2211xy第7页共11页圆心1,0在直线上，因此AB为圆的直径，2AB12.6【解析】∵3542aaa∴40a∵16a，413aad∴2d∴61661662Sad13.2【解析】不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC为正方形，2OA∴22cOB，π4AOB∵直线OA是渐近线，方程为byxa，∴tan1bAOBa又∵2228abc∴2a14．2，1a．【解析】由323330xxx，得1x，如下图，是fx的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴max12fxf；⑵当1a≥时，fx有最大值12f；当1a时，2x在xa时无最大值，且3max23axx．所以，1a．OCBAyx22xx33x11yxO第8页共11页15．【解析】⑴∵2222acbac∴2222acbac∴22222cos222acbacBacac∴π4B⑵∵πABC∴3π4AC∴2coscosAC222cos(cos)sin22AAA22cossin22AAπsin()4A∵3π4AC∴3(0,π)4A∴ππ(,π)44A∴πsin()4A最大值为1上式最大值为116．【解析】⑴81004020，C班学生40人⑵在A班中取到每个人的概率相同均为15设A班中取到第i个人事件为,1,2,3,4,5iAiC班中取到第j个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8jCjA班中取到ijAC的概率为iP所求事件为D则1234511111()55555PDPPPPP1213131314585858585838⑶10三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2但1中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0小，故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD面ABCDAD第9页共11页面PAD面ABCD∵ABAD，AB面ABCD∴AB面PAD∵PD面PAD∴ABPD又PDPA∴PD面PAB⑵取AD中点为O，连结CO，PO∵5CDAC∴COAD∵PAPD∴POAD以O为原点，如图建系易知(001)P，，，(110)B，，，(010)D，，，(200)C，，，则(111)PB，，，(011)PD，，，(201)PC，，，(210)CD，，设n为面PDC的法向量，令00(,1)nxy，011,120nPDnnPC，，则PB与面PCD夹角有11132sincos,311134nPBnPBnPB⑶假设存在M点使得BM∥面PCD设AMAP，0,','Myz由（2）知0,1,0A，0,0,1P，0,1,1AP，1,1,0B，0,'1,'AMyz有0,1,AMAPM∴1,,BM∵BM∥面PCD，n为PCD的法向量∴0BMn即102∴1=4∴综上，存在M点，即当14AMAP时，M点即为所求.18．【解析】（I）()eaxfxxbx∴()ee(1)eaxaxaxfxxbxb∵曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为(e1)4yx