拉普拉斯变换及反变换

第1页控制工程基础黄河科技学院拉普拉斯变换及反变换一、拉氏变换及其特性1、拉氏变换定义ttf0ttf0edstFsLftftt如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变换定义为补充知识重点第2页控制工程基础黄河科技学院式中，s是复变数，js0stesFsFtftftfsF（、均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉氏变化，它是一个复变函数，通常称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉氏变换的符号。第3页控制工程基础黄河科技学院)]([)(tfLsF)]([)(1sFLtftf拉氏变换是这样一种变换，即在一定的条件下，它能把一实数域中的实变函数sF变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。第4页控制工程基础黄河科技学院1）、典型函数的拉氏变换000)(tkttf（k=const）ttt)(tr0000tRa0t)(t0ttt00)(tr（a）阶跃函数（b）斜坡函数（c）抛物函数（d）脉冲函数（e）单位脉冲函数（f）正弦函数k)(tf)(tf)(tf1skdtketfLsFst0)]([)(单位阶跃函数，记作1(t)0100)(1tttstL1)](1[（1）阶跃函数（位置函数）第5页控制工程基础黄河科技学院（2）斜坡函数（又称速度函数）（k=const）000)(1)(tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tk0ttt00)(tr1（a）阶跃函数（b）斜坡函数（c）抛物函数（d）脉冲函数（e）单位脉冲函数（f）正弦函数20)]([)(skdtktetfLsFst单位斜坡函数000)(1)(ttttttf21)(ssF第6页控制工程基础黄河科技学院（3）抛物函数（又称加速度函数）（k=const）02100)(121)(22tktttkttf)(tf)(tf)(tfttt)(tr0000tRa0t)(tk0ttt00)(tr1（a）阶跃函数（b）斜坡函数（c）抛物函数（d）脉冲函数（e）单位脉冲函数（f）正弦函数30221)]([)(skdtekttfLsFst单位抛物函数02100)(121)(22ttttttf31)(ssF第7页控制工程基础黄河科技学院（4）单位脉冲函数000)(ttt)(tft)(tf00)(tt01tete1t1)()()]([0dtetdtettLstst重要性质)0()()(fdttft001)()(dttdtt第8页控制工程基础黄河科技学院（5）指数函数)(tft)(tf00)(tt01tete1t)(1)(1)(tetetftt0sdteeeLsttt1][0指数增长函数sdteeeLsttt1][0指数衰减函数指数增长函数指数衰减函数第9页控制工程基础黄河科技学院)(1sin)(tttf)(tft)(tf00)(tt01tete1t220)(21][sinsdteeejtLsttjtj（6）正弦函数（7）余弦函数)(1cos)(tttf220)(21][cosssdteeetLsttjtj第10页控制工程基础黄河科技学院第11页控制工程基础黄河科技学院第12页控制工程基础黄河科技学院2、拉氏变换的运算法则)()]([sFetfLs)()()]()([sbGsaFtbgtafL（1）线性定理（2）延迟定理)(tftt)(tf0)(tt0第13页控制工程基础黄河科技学院)()()()]([0)(0sFdtetfdtetfetfeLtssttt)()]([sFtfeLt（3）位移定理第14页控制工程基础黄河科技学院（4）相似定理)(1)]([asFaatfL（5）微分定理)0()()]([fssFtfL第15页控制工程基础黄河科技学院微分定理推论)0()0()0()0()()]([)1()2(21)(nnnnnnfsffsfssFstfL0)0()0()0()1(nfff特别在零初始条件下)()]([)(sFstfLnn第16页控制工程基础黄河科技学院（6）积分定理000)(1)(1])([tttdttfssFsdttfL)(1])([0sFsdttfLt)(1])([00sFsdttfLntnt当初始条件为零时，则第17页控制工程基础黄河科技学院（7）初值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)0(ssFfs（8）终值定理)(lim)(lim0ssFtfst)(lim)(0ssFfs第18页控制工程基础黄河科技学院sFdsdttfL)(ttf（10）象函数的积分性质dssFttfLsttf)(（9）象函数的微分性质的拉氏变换的拉氏变换第19页控制工程基础黄河科技学院（11）卷积定理dtgftgtf)()()(*)(tdtgf0)()()()()()()](*)([sFsGsGsFtgtfL第20页控制工程基础黄河科技学院二、拉氏反变换及其计算方法jcjcstdsesFjsFLtf)(21))(()(1式中表示拉普拉斯反变换的符号1L1、拉氏反变换第21页控制工程基础黄河科技学院由象函数求原函数的方法：方法一：利用拉氏反变换定义求方法二：查拉氏变换表求解方法三：部分分式法——不常用解——对简单的象函数适用——象函数为有理分式函数时适用2、拉氏反变换的计算方法第22页控制工程基础黄河科技学院应用部分分式展开式计算拉氏逆变换的一般步骤：（1）计算有理分式函数F（s）的极点；（2）根据极点把F（s）的分母多项式进行因式分解、并进一步把F（s）展开成部分分式；（3）对F（s）的部分分式展开式两边同时进行拉氏逆变换。第23页控制工程基础黄河科技学院1）当解出为单根时，对F(s)作因式分解：ips),......,2,1(ninnnpskpskpskpspspssNsF................221121ipsiipssFk)]([其中第24页控制工程基础黄河科技学院例651)(2ssssF0652ss21s解：（1）F（s）的极点32s（2）对F（s）的分母多项式进行因式分解、并把F（s）展开成部分分式32)3)(2(1651)(212scscsssssssF1)3)(2(1)2(21sssssc2)3)(2(1)3(32sssssc第25页控制工程基础黄河科技学院3221651)(2ssssssF（3）进行拉氏反变换tteesLsLsFLtf321112]32[]21[)]([)(第26页控制工程基础黄河科技学院2）当解出s有重根时，对F(s)作因式分解：)()()()()()(11111111nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF1])([1psrrpssFb1]})([{11psrrpssFdsdb1]})([{!11psrjjjrpssFdsdjb1]})([{)!1(11111psrrrpssFdsdrb其中…第27页控制工程基础黄河科技学院例)3()2(1)(3ssssF3)2()2(2)3()2(1)(4332213scscscscssssF1)3(123sssc2)3(122sssdsdc2)3(1212221sssdsdc解：2)3()2(1)3(334sssssc第28页控制工程基础黄河科技学院3）当解出s有共轭复根时，对F(s)作因式分解：nnpsapsapspsasasF332121))(()(11)])(([][2121pspspspssFasa第29页控制工程基础黄河科技学院例)52(1)(2sssssF52)52(1)(23212sscscscsssssF212252jssss解：两边同乘以32)21(21121cjcjj512c533c51)52(1021ssssssc得乘共轭(-1-j2)第30页控制工程基础黄河科技学院3)2()2(2)3()2(1)(4332213scscscscssssF32)2(1)2(222)3()2(1)(323ssssssssFtteettsLsLsLsLtf3221312112)2122(]32[])2(1[])2(2[]22[)(tteettsLsLsLsLtf3221312112)2122(]32[])2(1[])2(2[]22[)(第31页控制工程基础黄河科技学院52)52(1)(23212sscscscsssssF]4)1(4[]4)1()1([]4)1(3[212121sLssLssL)2sin(5)2sin22cos(tettett]5231[51)52(1)(22sssssssssF21tan其中第32页控制工程基础黄河科技学院tessLsLtft2sin555141351151211第33页控制工程基础黄河科技学院用MATLAB展开部分分式p=[1-12025126]p=1-12025126设：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()(在MATLAB中，多项式通过系数行向量表示，系数按降序排列。如要输入多项式：x4-12x3+25x+126第34页控制工程基础黄河科技学院用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num=[b0b1…bm]den=[a0a1…an]MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：[r,p,k]=residue(num,den)其中，r,p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。第35页控制工程基础黄河科技学院若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：)()()()2()1()1()1()(sKnpsnrpsrpsrsF若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项：qjpsqjrjpsjrjpsjr)()1()()1()()(2第36页控制工程基础黄河科技学院例：求的部分分式展开。2450351026523911)(234234sssssssssFnum=[111395226];den=[110355024];[r,p,k]=residue(num,den)r=1.00002.5000-3.00000.5000p=-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000k=1展开式为：115