韦达定理讲解

韦达定理执教者：虞申君一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：X1,2=aacbb242（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1--22123一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=ab-ac（韦达定理）注：能用韦达定理的前提条件为△≥0韦达（1540－1603）韦达定理的证明：aacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242●=242)42(2)(aacbb=244aac=ac如果方程x2+px+q=0的两根是X1，X2，那么X1+X2=,X1X2=－Pq说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-234134例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：(1)(2)x12+x222111xx解：由题意可知x1+x2=-,x1·x2=-332(1)2111xx=2121xxxx=332=92(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2∴x12+x22＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)232-2×(-3)＝694例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由韦达定理，得x1●2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解二：设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得x1＋2=k+1x1●2=3k解这方程组，得x1=－3k=－2答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:(1)x1=1,x2=2(2)x1=3,x2=-6(3)x1=-,x2=(4)x1=-2+,x2=-2-7755由韦达定理，得解：x1+x2=-,x1·x2=3p3q∴p=-3(x1+x2)q=3x1·x2(1)p=-9q=6(2)p=9q=-54(3)p=0q=-21(4)p=12q=-31、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,319则x1+1=,∴x1=,316又x1●1=,3m∴m=3x1=16解：由韦达定理，得x1+x2=-2,x1·x2=23∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=23251、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a≠0（2）根的判别式△≥01、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=21k23k∴12342)21(kk解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得0242)1(4kk即-8k+4≥021k由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。∴k=0