常见曲线的参数方程总结

常见曲线的参数方程1旋轮线2旋轮线也叫摆线3旋轮线是最速降线4心形线5星形线6圆的渐伸线7笛卡儿叶形线8双纽线9阿基米德螺线10双曲螺线主目录（1–10）xa曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。1.旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的x来看动点的慢动作.2a2a0yxax=a(t–sint)y=a(1–cost)t的几何意义如图示ta当t从02，x从02a即曲线走了一拱a.参数方程toaCAxyMsin(sin)xACOMtattcos(1cos)yOCOMtat这就是旋轮线的参数方程。将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板2.旋轮线也叫摆线（单摆）.两个旋轮线形状的挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？3.旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？BABABA滑板的轨道就是这条曲线.xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。4.心形线(圆外旋轮线)xyoa来看动点的慢动作.axyoaa2a来看动点的慢动作.xyo2aPr.r=a(1+cosθ)参数方程xyoa4a–a一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。5.星形线(圆内旋轮线)xyoa–a来看动点的慢动作.xyoa–a来看动点的慢动作.xyo323232ayx33sincosayaxa–a02极坐标方程为.P.直角坐标方程为：.)cos(sin)sin(costttaytttax0xy一直线沿圆周滚转（无滑动）直线上一个定点的轨迹6.圆的渐伸线a参数方程为0xy.a再看一遍0xy.a0xy.aa0xMtta(x,y))cos(sin)sin(costttaytttax0xy试由这些关系推出曲线的方程.参数方程为1.曲线关于y=x对称2.曲线有渐进线x+y+a=0分析3.令y=tx,得参数式1313323tatytatx-1),(-tt,t当,0t当故在原点，曲线自身相交.,t由当),-((0,0)动点由,t由当(0,0)),(动点由,t由当(0,0)(0,0)动点由线.依逆时针方向画出叶形)(00333aaxyyx7.狄卡儿叶形线)0,0(),(yx)0,0(),(yx也有4.0xy曲线关于y=x对称曲线有渐近线x+y+a=0.即0xya2P,2aFF)0,(aF)0,(aFFF与到)(2arcos2222raarcos2222raar42222222cos4)()(aarar2cos222ar02cos)2,47()45,43()4,0(...........)(2)(222222yxayx曲线在极点自己相交，与此对应的角度为=,4,43,4547.....距离之积为a2的点的轨迹直角系方程8.双纽线0xya22cos222ar.所围面积4.)d(rS22a..由对称性dcosa.例1求双纽线0rr=a曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线9.阿基米德螺线0r.0r再看一遍请问：动点的轨迹什么样？.0r.0r.0rr=a.阿基米德螺线r这里从0+r=a0每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿基米德螺线0r当从0–r=a.阿基米德螺线arr0.这里从0+a0limrθ极点是曲线的渐近点sinrysinaayθ0lim是曲线的渐近线ay..10双曲螺线arr0.当从0–a.双曲螺线xyo例22θθπd)cos1(21230..S==1+cos3r=3cos部分的面积共分别所围成的图形的公及求曲线θrθrcoscos由3cos=1+cos得交点的坐标θS232dcos29ππθθ23π.......例3.1部分的面积共分别所围成的图形的公及求曲线θrθrcossin20xy令cos2=0,kθ由sin0,θ联立后得交点坐标,θθθθππdcos22146...θθπdsin221260[S=2]6πθ.4πθ的面积。部分分割为两部分，求这两被心形线圆θρρcos11xyo例41θθd)cos(s1s2ssss......sS==1+cos求由双纽线0xyθarcos..2122aπ..由对称性.例5.aa6πθ)()(2所围而且在圆周2ayxyxayx内部的面积。双纽线化成极坐标a)(令r=0,kθkθ,ar令dcos221246θθaππS=4+.4πθ