函数的概念与表示法

~1~函数的概念和函数的表示法考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。例1.下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是（）①A={xx∈Z}，B={yy∈Z}，对应法则f：x→y=3x;②A={xx0,x∈R},B={yy∈R}，对应法则f：x→2y=3x;③A=R,B=R,对应法则f：x→y=2x;变式1.下列图像中，是函数图像的是（）①②③④变式2.下列式子能确定y是x的函数的有（）①22xy=2②111xy③y=21xxA、0个B、1个C、2个D、3个变式3.已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（）A.y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点变式4.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有…()①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A．1个B．2个C．3个D．4个变式5．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。例2.下列哪个函数与y=x相同（）①.y=x②.2yx③.2yx④.y=t⑤.33xy；⑥.2xyOOOOXXXXyyyy~2~变式1.下列函数中哪个与函数32yx相同（）A.2yxxB.2yxxC.32yxxD.22yxx变式2.下列各组函数表示相等函数的是（）A.293xyx与3yxB.21yx与1yxC.0yx（x≠0）与1y（x≠0）D.21yx，x∈Z与21yx，x∈Z变式3.下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）3)5)(3(1xxxy52xy（2）111xxy)1)(1(2xxy（3）21)52()(xxf52)(2xxf考点三：求函数的定义域（1）当f（x）是整式时，定义域为R；（2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不为0的x取值集合；（3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合；（4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值集合；（5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x取值集合；已学函数的定义域和值域1．一次函数yaxb)0(a:定义域R,值域R;2．反比例函kyx)0(k:定义域0|xx,值域|0yy;3．二次函数2yaxbxc)0(a:定义域R值域：当0a时，abacyy44|2；当0a时，abacyy44|2例3.①函数2211yxx的定义域是（）A.1,1B.(-1,1)C.[-1,1]D.(-∞,-1)∪(1,+∞)②函数y＝x＋1＋12－x的定义域是(用区间表示)________．变式1.求下列函数的定义域(1)21)(xxf；(2)23)(xxf；(3)xxxf211)(.~3~(4)01xyxx(5)y＝x＋1x2－4；(6)y＝1|x|－2；(7)y＝x2＋x＋1＋(x－1)0.求复合函数的定义域例5.已知函数f（21x）定义域为1,3,求f（x）的定义域变式1.已知函数f（1x）的定义域为[0，3]，求f（x）的定义域变式2.已经函数f（x）定义域为[0,4],求f2x的定义域考点四：求函数的值域例6．求下列函数的值域①31yx，x∈{1，2,3，4，5}(观察法)②246yxx，x∈1,5(配方法：形如2yaxbxc)②21yxx(换元法：形如yaxbcxd)④21xyx(分离常数法：形如cxdyaxb)④221yxxx(判别式法：形如21112222axbxcyaxbxc)~4~变式1.求下列函数的值域①2243yxx②1yxx②2()234fxxx④2()234fxxx(12)x⑤y=213xx⑥2224723xxyxx考点五：求函数的解析式例7.已知f（x）=22xx，求f（1x）的解析式（代入法/拼凑法/换元法）变式1.已知f（x）=21x，求f（2x）的解析式变式2.已知f（x+1）=233xx，求f（x）的解析式变式3.已知(1)2fxxx，试求()fx的解析式.例8.若f[f（x）]=4x+3，求一次函数f（x）的解析式（待定系数法）变式1.已知f（x）是二次函数，且211244fxfxxx，求f（x）.~5~变式2.一次函数()fx满足[()]45ffxx，求该函数的解析式.变式3．已知多项式7)(axxf，222)(bxxxg，且922)()(2xxxgxf.试求a、b的值.变式4．已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，求f(x)的解析式.变式5．已知二次函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（1＋x）＝f（1－x），且f（0）＝3，求f（x）的解析式.变式6.已知函数f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）.例9.已知f（x）2f（x）=x，求函数f（x）的解析式（消去法/方程组法）变式1.已知2f（x）f（x）=x+1，求函数f（x）的解析式变式2.已知2f（x）f1x=3x，求函数f（x）的解析式~6~例10.设对任意数x，y均有222233fxyfyxxyyxy，求f（x）的解析式.（赋值法/特殊值法）变式1.已知对一切x，y∈R，21fxyfxxyy都成立，且f（0）=1，求f（x）的解析式.考点六：函数的求值例11.已经函数f（x）=32xx，求f（2）和f（a）+f(a)的值变式1.已知f（2x）=21xx，求f（2）的值例12.已知函数510320xxxxfx，求f（1）+f（1）的值变式1.已知函数2122111fxxxxxxfx，求f[f（4）]的值变式2.已知函数1(2)2nfnnfn，求f（5）的值~7~例13.设函数812l,1]og(1,)(,xfxxxx，求满足f（x）=12的x值变式1.已知函数11xfxxxx，若f（x）=2，求x的值考点七：映射例1．判断下列对应是否是映射？变式1.下列各组映射是否是同一映射？变式2.判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:xxf（2）设}1,0{,*BNA，对应法则得的余数除以2:xxf（3）NA，}2,1,0{B，:3fxx被除所得的余数（4）设111X{1,2,3,4},Y{1,,,}234取倒数xxf:（5）NBNxxxA},,2|{，的最大质数小于xxf:~8~考点八：函数的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法例1某种笔记本每个5元，买x{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y（元），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.例2国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封xg(0＜x100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像.例3画出函数y=|x|=00xxxx的图象.例4求下列函数的最大值、最小值与值域.①142xxy；③]4,3[,142xxxy；③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy~9~531-2-5xOy函数的单调性与最值增函数与减函数单调性与单调区间例1如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(xfy的图象，根据图象说出)(xfy的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(xfy是增函数还是减函数.例2证明函数23)(xxf在R上是增函数.例3证明函数xxf1)(在(0,+)上是减函数.练习1．函数y=x2+x+2单调减区间是()A、1[,)2B、（-1，+∞）C、1(,]2D、（-∞，+∞）2．下面说法正确的选项（）A．函数的单调区间可以是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象3．函数f(x)=2x2－mx+3,当x∈[2,)时,增函数,当x∈2,时,是减函数,则f（1）等于（）A．－3B．13C．7D．由m而定的其它常数4.如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(,4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥－3B．a≤－3C．a≤5D．a≥35.函数bxky)12(在实数集上是增函数，则（）A．21kB．21kC．0bD．0b６.已知函数2122yxx求:(1)当03x时，函数的最值;(2)当35x时，函数的最值．~10~函数的奇偶性观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.2()fxx()||1fxx21()fxx偶函数：奇函数：例1．判断下列函数的奇偶性（1）2()[1,2]fxxx（2）32()1xxfxx（3）2211(0)2()11(0)2xxgxxx例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()fxx（2）5()fxx（3）1()fxxx（4）21()fxx例3．已知()fx是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()fx在（－∞，0）上也是增函数．~11~练习1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6]fxx②()|2||2|fxxx2．设()fxRx在上是奇函数,当＞0时，()(1)fxxx，试问：当x＜0时，()fx的表达式是什么？学案（6）反函数（一）（选讲）复习观图回答：:fABab的意义是什么？新课1．试求函数231xyx的值域.(提示：利用分离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法)2．反函数的定义：试利用定义填写下表：函数()yfx反函数1()yfx定义域A值域BABabABba~12~3.试讨论原函数与其反函数的图象关系：4．试求(1)y=2x+1(2)y=2x+11()2x的反函数,并对比有何不同.5．求解反函数的步骤:例求下列函数的反函数(1))(13Rxxy(2)212xyx(3))(13Rxxy(4))0(1xxy练习1.已知函数)1(156xRxxxy且，那么它的反函数为()A、1156xRxxxy且B、665