线性代数总复习PPT--很全!

要求：会用其性质与展开定理，计算低阶及特殊的行列式。一、行列式两个重要概念：余子式,代数余子式ijjiijMA)1(上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积性质是计算行列式的中心环节，利用性质将行列式化为三角形行列式，然后计算是计算行列式的重要方法。则的代数余子式是设,,ijijnnijaAaAjijiAAaAaAajinjiji当当,022211展开定理及其应用jijiAAaAaAanjnijiji当当,02211利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低一阶行列式的计算。特殊关系式是数，则阶方阵是设knBA,,AAAkkAnn1,1,,121*1nAAAABABCABAAB0,3例题解计算下列行列式1234121231123232112,,,,,4=m,=n+=?例题设均为维列向量且四阶行列式则解方程此为范德蒙行列式例题二、矩阵smAnsBnmijnmcC)(BAAB不能推出(1)(3)(2)0AB0A或0BBCAB不能推出CB交换律不成立消去律不成立转置矩阵的运算律一、矩阵运算中注意的几点特殊矩阵：AAT若AAT若阶梯阵A与行最简阶梯阵B00000160007430051321A00000210003010050021BTT-1AA=EA=A正交矩阵正定矩阵若A为n阶对称矩阵A为n阶反对称矩阵n阶方阵A可逆的充要条件n阶方阵A可逆0A可逆矩阵EBAEABB或，使存在方阵,nAnn秩0的特征值全部A仅有零解齐次线性方程组0XAnn向量组线性无关。列的行)(AEA可逆矩阵的性质设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则TTAAAkkAABABAA111111111142,315、求方阵A的逆矩阵的方法*1,,011AAAAA且可逆则如果BAA1可逆，且则或使如果存在方阵,,,2EBAEABB1,3AAEEA可逆，且则如果行变换nEAAAAA*1AAA1nAA特别：AA11矩阵的初等变换,初等方阵用初等方阵左（右）乘A，相当于对A作初等行（列）变换得到的矩阵，矩阵A的标准型1、R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。2、秩的基本关系式：TnmARARnmAR;,min13、关于秩的重要结论：矩阵的秩；矩阵的初等变换不改变1003AnARAAnARnA可逆阶方阵，则是设矩阵的秩矩阵是阶可逆矩阵，阶、分别是、设nmAnmQP2PAQRAQRPARAR则002AAR))(),(min()(BrArABr重要结论则设,)(,)(tnijnmijbBaA)()()()1(ABrnBrArnBrArAB)()(,0)2(特别,)()3(nAr若0,0BAB则且阵，则均为nmBA,)4()()()(BrArBAr则阶方阵为,2,)5(nnA)(*Ar.)(,nArn.1)(,1nAr.2)(,0nAr定理秩的求法：1)R（A）：A的不等于0的子式的最大阶数。2）初等变换法：TA阶梯形,R（A）=T的阶梯数3）若P可逆，则APRAR,常需先验证P可逆4）利用矩阵的秩和矩阵对应的其次方程组的解的关系5）利用相似矩阵的秩（矩阵的秩＝n-0特征秩的重数）选择题－1设A、B都是n阶方阵，则e选择题－2,nA,B,CABC=E设阶方阵满足关系式则必有：12(3)4ACB=ECBAEBACEBCA=E（）（）（）（4）3,0ABnABA,B选择题－设都是阶非零矩阵，且，则的秩为：12(3)n（）必有一个等于零（）都小于一个小于n,一个等于n(4)都等于n（2）选择题－411=(,0,0,),,222E,TTnAEBEnAB=设维列向量矩阵其中为阶单位矩阵则T(1)0(2)-E(3)E(4)E+（3）,1,23,.3BABA阶方阵，如果都是设BAABABAAAA计算设,,,,,,2321321解3221,,2ABAABA２＋２3221,,4ABAA＋12124,,,,4321321ABAAAA*1,41AA计算114141AA413A*13,128141AA例例：设方阵A满足2A2-5A-8E=0，证明A-2E可逆，12EA求关键：寻求方阵B，使（A-2E）B=E分析EEAEA21012并且可逆所以,2EAEAEA210121原式可写为010)2(2EEAEA（重点）例：设矩阵X满足：AXB=XB+C，求X，其中110101,100012002,2012CBA由已知，得AXB-XB=C，则得1CXBEA显然A-E、B均可逆，并且1000110021,10111011111BEA11CBEAX11BCEAX解（重点）2101020201ABABABEAB设三阶方阵、满足，，则＝？2ABABEA+E)(A-E)B-(A+E)=0解：由，（A+E,显然可逆于是()AEBE,-1B=(A-E)以下的做法有多种比如求,AA-EB求的特征值的特征值的特征值例R(A)=2初等变换例（重点）41312114321TA例,4,3,2,1,41,31,21,1,TA,TBNnABAn,,,求解13424431233213212413121143214131211TB4三向量组的线性关系定义定义极大无关组、等价等价定义（重点）结论:2、,,,,,,,2121mm线性无关，设向量组。3、1、矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系线性表示，必可由则线性相关m,,,,21并且表法惟一。注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；秩（A）=列向量组的秩=行向量组的秩定理线性表示可由向量m,,,21有解mmxxx2211有解线性方程组mmxx121,,,，mmRR,,,,,,2121定理线性相关向量组m,,,21有非零解02211mmxxx非零解线性方程组0,,,121mmxx是向量个数mmRm,,,21判别法1nrnnnnn,,,0,,,,,,212121线性相关元个判别法2.1元向量必线性相关个nn等价的向量组的秩相等；nrnnnnn,,,0,,,,,,212121线性无关元个部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关1212.,,,,,,,.,.jjmmbABbbbBA即添上一个分量后得向量若向量组：线性无关则向量组：也线性无关反言之，若向量组线性相关则向量组也线性相关判别法3例题线性相关维向量组mn,,,121DF中至少有一个零向量；mA,,,21对应成比例；中至少有两个向量分量mB,,,21个线性表示；余中每一个向量都可由其1,,,21mCm个线性表示；其余中至少有一个向量可由1,,,21mDmmnEmRFm,,,21例题则的秩为维向量组设,,,,221rnmBC个向量必线性无关；中任意rAm,,,21个向量必线性相关；中任意1,,,21rBm都构成极大无关组；个线性无关的向量中任意rCm,,,210000001000501104020112311113111131163421设987675431310745432432154321，，，，，的一个极大无关组与秩，，，求54321,解进行初等行变换：，，，对矩阵54321,A9713548510437473263421A54321,，，，无关组线性表示。并将其余向量用此极大例重点(续)9713548510437473263421A00000010005011040201的一个极大无关组为：，，，54321,421，，其余向量由此极大无关组表示为：215213542，所以向量4---例题41231131,1,711bbb讨论取何值时，向量组线性相关？解1)因为行列式113173111Dbbbb所以当b=3或b=1时，D=0，线性相关；否则线性无关。证明,,,,3211321设线性无关设证明.10332211xxx设03232123211xxx即03312321121xxxxxxx所以线性无关因为,,,32120003132121xxxxxxx.,,,0:321321线性无关故解之得xxx.,,:,,321323212也线性无关证明证明,mmnnmEBABmnAnm满足矩阵与矩阵设分析：只要证明：B的列秩=m;证明mBBR的列数显然mERABRBRm又因为的列数所以BmBR的列向量数的列向量组的秩所以BmBRB的列向量组线性无关。所以B。的列向量组必线性无关证明：并且Bnm,2)(,03334ArABBA矩阵且为矩阵，为例设的列向量组线性相关。证明B3)()(0nBrArAB证明：2)(Ar1)(Br的列向量组线性相关。B例设向量组1111k1112kk111320kk问k为何值时线性表示？，，可由321表示法唯一，不唯一，不可表示。解设332211xxx即01321xxxkkxxkx321123211kxkxxkkkDA111111111用克莱姆法则)3(2kk30kk0)3(2kkk=-3时.321线性表示，，可由表示法唯一，0k时011101110111A同解方程组321xxx有无穷多解。921131210112A1000123309211.321线性表示，，不可由30k