3-无约束最优化及其应用

第3章无约束最优化及其应用§3.1函数求极值的必要条件与充分条件一、一元函数求极值的必要与充分条件二、二元函数求极值的必要与充分条件三、多元函数求极值的必要与充分条件四、凹函数与凸函数§3.2无约束最优化模型应用一、竞争条件下企业利润最大化假设完全竞争条件下的企业以p的价格销售产品，并且分别以w1和w2的价格采购两种生产要素x1和x2。企业的生产函数可表述为y=f(x1,x2)，则企业的利润最大化函数为：maxπ=pf(x1,x2)–w1x1–w2x21.要素需求函数和供给函数的比较静态分析§3.2无约束最优化模型应用2.要素需求函数和供给函数的齐次性与弹性由前面的分析可知，竞争条件下企业利润最大化的一阶条件为：pf’x1(x1,x2)–w1=0pf’x2(x1,x2)–w2=0若存在满足二阶充分条件的x1*和x2*，则有：x1*=x1*(w1,w2,p)，x2*=x2*(w1,w2,p)§3.2无约束最优化模型应用如果令两生产要素价格w1和w2及产品价格p按同比例变动，则利润最大化的一阶条件可写为：tpf’x1(x1,x2)–tw1=0tpf’x2(x1,x2)–tw2=0若存在新的满足二阶充分条件的x1*和x2*，则：x1*(tw1,tw2,tp)=x1*(w1,w2,p)=x1*x2*(tw1,tw2,tp)=x2*(w1,w2,p)=x2*§3.2无约束最优化模型应用也即是说，要素价格和产品价格按等比例变化，在利润最大化的条件下，不改变要素的最优需求量，亦即要素需求函数为0次齐次函数。同样道理，将两种情形下的要素需求函数代入到生产函数中，也可得到要素的供给函数也是0次齐次函数。§3.2无约束最优化模型应用x1*=x1*(w1,w2,p)x2*=x2*(w1,w2,p)是0次齐次的，则根据欧拉定理，有：既然两个要素的需求函数§3.2无约束最优化模型应用上式两边分别除以x1*(w1,w2,p)和x1*(w1,w2,p)，有：ε11+ε12+ε1p=0ε21+ε22+ε2p=0即：→可拓展至一般情形§3.2无约束最优化模型应用3.长期需求函数和短期需求函数对于生产函数y=f(x1,x2)，如果两要素投入量x1和x2都是变化的，那么通过利润最大化求得的两个要素需求函数为长期需求函数。若某一生产要素投入量不变（如x2=x20），则称通过利润最大化求得的另一个要素的需求函数（如x1*）为短期需求函数。（如何求短期需求函数？比较静态分析的结果？）§3.2无约束最优化模型应用长、短期需求函数比较静态分析的比较：两式相减，有：例：生产多种产品的企业利润最大化假设完全竞争条件下的一个企业生产两种商品，分别用Q1、Q2表示两种商品的产量，P1、P2为两种商品的价格。企业的成本函数为：C(Q1,Q2)=2Q12+Q1Q2+2Q22试求利润最大化时两商品的产量。§3.2无约束最优化模型应用二、完全垄断条件下企业利润最大化在完全垄断条件下，价格不再是外生变量。以上面的例子来说明完全垄断条件下的企业利润最大化问题。为符合完全垄断假设，假定两商品需求函数为：Q1=40–2P1+P2，Q2=15+P1–P2例：垄断企业的价格歧视问题假设垄断企业在三个市场上的价格函数为：P1=63–4Q1，P2=105–5Q2，P3=75–6Q3总成本函数为：C(Q1,Q2,Q3)=10+15(Q1+Q2+Q3)试求：实行价格歧视和不实行价格歧视两种情形下，利润最大化时三个市场的供应量和价格。§3.2无约束最优化模型应用三、双寡头垄断条件下企业利润最大化所谓双寡头垄断——市场上仅存在两厂商。假设两厂商的成本函数分别为C1=C1(Q1)和C2=C2(Q2)，Q1、Q2分别为两厂商产量。市场的反需求函数为P=P(Q1+Q2)，则两厂商的利润最大化模型可写为：maxπ1=P(Q1+Q2)Q1–C1(Q1)maxπ2=P(Q1+Q2)Q2–C1(Q2)双寡头垄断的三种情形1.古诺（Cournot）模型（完全竞争，串谋）2.斯塔克尔伯格（Stackelburg）模型3.伯川德（Bertrand）模型（价格古诺）§3.3最优值函数及其比较静态分析一、最优值函数比较静态分析的传统方法在最优化问题中，假设我们用向量x表示内生变量，用向量a表示外生变量，如果可以得到一个均衡解x*，则这个均衡解是各外生变量的函数，即x*=(xi*(a))[i=1,2,…,n]。将此均衡解代回目标函数，就可得到目标函数的最优值，目标函数的最优值也是外生变量a的函数[因此称其为最优值函数，或间接目标函数]。最优值函数对于最优化模型：maxF(x,a)，x=(x1,x2,…,xn)a=(a1,a2,…,am)如果存在均衡解x*(a)[其中每一个内生变量都是外生变量a的函数，即xj*=xj*(a)]，对应目标函数的最优值V(a)=F(x*(a);a)即为最优值函数，也称为间接目标函数。§3.3最优值函数及其比较静态分析对这个最优值函数求关于外生变量的（偏）导数，则就可对其进行比较静态分析。这就是最优值函数比较静态分析的传统方法。举个例子：假设厂商的利润最大化问题可最终写成：maxπ=pL1/4K1/2–wL–rK试对最大化利润进行比较静态分析。§3.3最优值函数及其比较静态分析二、包络定理对于最优值函数：V(a)=F(x*(a);a)V(a)关于外生变量ai求偏导数即是F(x*(a);a)关于外生变量ai求偏导数，即：这就是包络定理。（证明？求解前一个例子？）例子：利用包络定理进行比较静态分析假设一个企业以价格p销售商品，并且分别以w1和w2的价格采购原材料x1和x2。企业的生产函数可以表述为Q=f(x1,x2)，试用包络定理对最大化利润进行比较静态分析。利润最大化函数可写为：maxπ=pf(x1,x2)–w1x1–w2x2§3.3最优值函数及其比较静态分析三、短期成本函数和长期成本函数短期成本（函数）：一种或有限几种生产要素可变，在此情况下生产给定产量时的最小成本。长期成本（函数）：所有生产要素都可变，在此条件下生产给定产量时的最小成本。短期成本曲线（函数）推导长期成本曲线（函数）？例子：由短期成本曲线求长期成本曲线假设投入水平为a时，相应的短期成本函数为：Cs(q,a)=q3–30q2+(400–a)q+0.05a2试求长期成本函数C(q)。短期成本函数表示给定产出水平q和投入水平a下的最小成本。长期成本函数表示在给定产出水平q下的最小成本。THEEND