二次函数导学案(全章)

靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级上课时间姓名1第1课时二次函数的概念【学习目标】1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。【课时类型】概念课【学习过程】一、学习准备1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量。2．一次函数的关系式为y=(其中k、b是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y＝(其中k是的常数)；反比例函数的关系式为y=(k是的常数)。二、解读教材——数学知识源于生活3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有棵橙子树，这时平均每棵树结个橙子，如果果园橙子的总产量为y个，那么y=。4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？。5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。例1下列函数中，哪些是二次函数？(1)2321xy(2)112xy(3)xy222(4)251tts(5)22)3(xxy(6)210rs即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？(1)2xy(2)252132xxy(3))1(xxy(4)1132）（xy(5)caxy2(6)12xs注意：(1)关于x的代数式一定是整式，其中a，b，c为常数且a≠0；(2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项哟！靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级上课时间姓名2三、挖掘教材6．对二次函数定义的深刻理解及运用例2若函数1232kxxykk是二次函数，求k的值。分析：x的最高次数等于2，即k2-3k+2=2，求出k的值即可。解：即时练习：若函数1)3(232kxxkykk是二次函数，则k的值为。四、反思小结1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。2．定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。3．二次函数y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的几种不同表示形式：(1)y=ax²(a≠0)；(2)y=ax²+c(a≠0且c≠0)；(3)y=ax²+bx(a≠0且b≠0)。4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。【达标测评】1．下列函数不属于二次函数的是（）A．y=(x－1)(x+2)B．y=21(x+1)2C．y=2(x+3)2－2x2D．y=1－3x22．在边长为6cm的正方形中间剪去一个边长为xcm(x6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x之间的函数关系是。3．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系式是，它是函数。4．正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，则y与x之间的函数表达式为。5．当m=时，22)2(mxmy是二次函数；若函数mmxmy2)2(是二次函数，则m=。6．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c都是常数）：当a时，它是二次函数；当a，b时，它是一次函数；当a，b，c时，它是正比例函数。7．若函数y=(k2－4)x2+(k+2)x+3是二次函数，则k。教学后记靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级上课时间姓名3这就是回答最值的标准格式。第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质【学习目标】1．能够利用描点法做出函数y＝ax2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质；2．理解二次函数y＝ax2中a对函数图象的影响。【学习重点】经历探索二次函数y＝ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质。【学习过程】一、学习准备1．正比例函数y=kx(k≠0)是图像是。2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是。3．反比列函数y=kx(k≠0)的图像是。4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是：，，。二、解读教材5．试作出二次函数y＝x2的图象。（1）画出图象：①列表：（注意选择适当的x值，并计算出相应的y值）x…………y＝x2…………②描点：（在右图坐标系中描点）③连线：（应注意用光滑的曲线连接各点）（2）根据图像，进行小结：①y＝x2的图像是，且开口方向是。②它是对称图像，对称轴是轴。在对称轴的左侧（x0）,y随x的增大而；在对称轴的右侧（x0），y随x的增大而。③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点，从图中可以看出也是图像的最低点，此时，坐标为（，）。④因为图像有最低点，所以函数有最值，当x=0时，y最小=。6．变式训练1作出二次函数y＝-x2的图象。x…………y＝-x2…………小结：①y＝-x2的图像是，且开口向。②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y随x的增大，在对称轴的右侧，y随x的增大。③顶点坐标是：（，），且从图像看出它有最点，所以函数有最值。当x=0时，。xyOxyO靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级上课时间姓名47．变式训练2作出y＝2x2，y＝0.5x2的图像。xy＝2x2y=0.5x2三、挖掘教材8．根据上面的图象，从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。表达式草图开口对称轴顶点最值增减性x0x0y=ax2(a0)y=ax2(a0)同时，a决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口。9．例已知：抛物线102mmmxy，当x0时，y随x的增大而增大，求m的值。10．已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。四、反思小结二次函数的y＝ax2（a≠0）的图象与性质：五个方面理解：，，，，。【达标测评】1．抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是，在侧，y随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小。当x=时，函数y的值最小,最小值是。抛物线y=2x2的图象在方（除顶点外）。2．函数y＝x2的顶点坐标为，若点（a，4）在其图象上，则a的值是。3．函数y＝x2与y＝-x2的图象关于对称，也可以认为y＝-x2是函数y＝x2的图象绕旋转得到的。4．求出函数y=x+2与函数y＝x2的图象的交点坐标。5．若a1，点（a-1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y＝x2的图象上，判断y1，y2，y3的大小关系是。第3课时二次函数y＝ax2+k的图象与性质xyO教学后记靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级上课时间姓名5【学习目标】1．会用描点法作出函数y＝ax2+k的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2+k的性质；2．理解二次函数y＝ax2+k中a和k对函数图象的影响；3．理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。【学习重点】理解二次函数y＝ax2+k的性质。【学习难点】理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。【学习过程】一、学习准备1．画出两条抛物线的草图并填空。二、解读教材2．用描点法作出二次函数y＝2x2+1的图像。x……0……y＝2x2+1…………小结：①y＝2x2+1的图像是，且开口向。②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而。③顶点是：(，)，且从图像看它有最点，则函数y有最值，即当x=时y有最值是。3．在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝-x2，y＝-x2+2，y＝-x2-2的图像。小结：①抛物线y＝ax2+k的开口方向由决定，当时，开口向上；当时，开口向下。②对称轴是，当a0时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而。且函数y当x=0时ymin=。当a时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的抛物线y＝x2y＝-x2开口方向对称轴增减性在对称轴左侧，y随x的增大而。在对称轴右侧，y随x的增大而。顶点坐标最值当x=0时，ymax=。x…………y＝-x2…………y＝-x2+2…………y＝-x2-2…………xyOxyOxyO靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级上课时间姓名6增大而。且函数y当x=0时ymax=。③顶点坐标是（，）。④y＝-x2的顶点坐标是（，），y＝-x2+2的顶点坐标是（，）所以y＝-x2向平移个单位便可以得到y＝-x2+2。y＝-x2-2的顶点坐标是（，）所以y＝-x2+2向平移个单位便可以得到y＝-x2-2。4．变式训练1二次函数y=54x2+3的图像是线，开口向，顶点坐标是，对称轴是；当x0时，y随x的增大而。当x=时，y有最值为。三、挖掘教材---抛物线y＝ax2+k可以由抛物线y＝ax2经过向上（k0）或向下(k0)平移|k|个单位得到。5．函数y＝-2x2的图像向下平移3个单位，就得到函数；函数y=-4+32x2的图像可以看作函数y=32x2的图像向平移个单位而得到。6．已知：二次函数y＝ax2+1的图像与反比列函数y=kx的图像有一个公共点是（-1，-1）。（1）求二次函数及反比例函数解析式；（2）在同一坐标系中画出它们的图形，说明x取何值时，二次函数与反比例函数都随x的增大而减小。四、反思小结：1．填表回忆2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2经过向（k0）或向(k0)平移个单位得到。【达标测评】1．抛物线y=-x2-5可以看作是抛物线经过向平移个单位得到。2．抛物线y=x2+4的开口向，对称轴是，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而；顶点坐标是，当x=时，y有最值为。3．抛物线y=-3x2上有两点A（x，-27），B（2，y），则x=，y=。4．抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点为（2，b），则k=，b=。函数草图开口方向对称轴增减性顶点坐标最值y=ax2(a0)y=ax2(a0)y=ax2+k(a0)y=ax2+k(a0)靖远县第七中学九年级数学导学案（教师版）授课班级上课时间姓名7第4课时二次函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象与性质【学习目标】1．能够作出函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y＝ax2的图象的关系，理解a，h，k对二次函数图象的影响；2．能够正确说出二次函数的顶点式y＝a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。【学习重点】能够作出函数y=a(x-h)2和y＝a(x-h)2+k的图象，正确说出y＝a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。【学习过程】一、学习准备1．说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最值和增减变化情况。（1）y=2x²（2）y=-2x²+12．请说出二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系。3．我们已知y=ax²，y=ax²+c的图像及性质，现在同学们可能想探究y=ax²+bx的图像，那我们就动手画图像。x………