反比例函数讲义加课堂练习(2017)

1反比例函数知识点归纳和典型例题(一)知识点归纳（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则2有三角形PQC的面积为．图1图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（四）充分利用数形结合的思想解决问题．例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3xB．C．3xy=1D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=_________②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．3（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）．例1（2013•张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数ayx在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．CD．4例2（2013•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数22aayx图象的两个分支分别在（）A．第一、三象限.B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限.例3（2012•台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数6yx的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y1＜y2＜y3D．y1＜y3＜y2.1．（2013•毕节地区）一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数myx的图象在同一平面直角坐标系中是（）A．B．CD．2．（2013•内江）函数1yxx的图象在（）A.第一象限B．第一、三象限C．第二象限D．第二、四象限3．（2012•佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数2yx的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1y2．当堂测验1.下列函数中：①xy2，②11xy，③2xy④xy23⑤11xy⑥xy=5⑦xky⑧y=4x-1其中是y关于x的反比例函数有：；（填写序号）2.某反比例函数图象经过点(-1,6),则下列各点中此函数图象也经过的点是（）A．(-3,2)B．(3,2)C．(2,3)D．(6,1)3.比例函数xy6图象上有三个点)(11yx，，)(22yx，，)(33yx，，其中3210xxx，则y1,y2,y3的大小关系是．4.已知点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数的图像上.则y1,y2,y3的大小关系是．5.反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大则m的值是。6.下列函数中，y值随x值的增大而增大的是（）5A、y=2x+3B、1yxC、1yxD、1yx7.如图是三个反比例函数xky1，xky2，xky3在x轴上的图像，由此观察得到k1、k2、k3的大小关系为_____8.在同一直角坐标系中，函数y=kx+k，与xky（k0）的图像大致为（）7题8题9.若点A(m,-2)在反比例函数xy4的图像上，则当函数值y﹥-2时，自变量x的取值范围是___________.10.若一次函数y=kx+1的图像与反比例函数xy1的图像没有公共点，则实数k的取值范围是反比例函数知识点归纳和典型例题(二)4．解析式的确定（1）若y与成反比例，x与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）．①求x0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．例4（2013•哈尔滨）如果反比例函数1kyx的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）A．2B．-2C．-3D．3.4．（2012•广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数1byx的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．3yxB．1yxC．2yxD．2yx.65．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1B．1＜S＜2C．S=2D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．7（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．当堂测试1.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作yAB轴于点B，点P在x轴上，△ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为。2.如图双曲线1y、2y在第一象限的图像如图，14yx，过1y上的任意一点A，作x轴的平行线交2y于B，交y轴于C，若1AOBS，则2y的解析式是___________.面积为2，则k．3.已知矩形OABC的面积为3100，它的对角线OB与双曲线xky相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k=__4.图，双曲线)0(＞kxky经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为__________1题2题3题4题5题8ABCOxy5.如图，已知双曲线)0k(xky＞经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．6.如图，点A、B是双曲线3yx上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1S阴影，则12SS．6题7题8题9题7.如图，已知一次函数1yx的图象与反比例函数kyx的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点CABx，⊥轴于点B，AOB△的面积为1，则AC的长为（保留根号）．8.如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数(00)kykxx，的图象上．若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S．则当S=m(m为常数，且0m4)时，点R的坐标是_______________(用含m的代数式表示)9.如图，在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则．10．试着求S1+S2+…+Sn=________________________反比例函数知识点归纳和典型例题（三）例5（2012•铁岭）如图，点A在双曲线4yx上，点B在双曲线kyx（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）A．12.B．10C．8D．65．（2013•株洲）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数21,yyxx的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）A．3B．32tC．32.D．不能确定9例6（2013•岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数22yx的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是（）A．点A和点B关于原点对称B．当x＜1时，y1＞y2C．S△AOC=S△BOD.D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大7．（2012•达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1.B．x＜-2或0＜x＜1C．x＞1D．-2＜x＜16．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的