搜索
第一讲偏好、效用与消费者的基本问题第一讲1(1)(4)XYYX王力喜欢汽水x，但厌恶冰棍y；更多的汽水x所带来的喜悦被更多的冰棍y而冲淡，他的效用曲线拥有正的斜率；对于一定量的汽水x而言，越少的冰棍y越好，所以越靠右的曲线所代表的效用水平就越高。杨琳无所谓汽水x，但这喜欢冰棍y；更多的汽水x并没有使她欣喜若狂，她只在乎更多的冰棍y，她的效用曲线为水平线；对于一定量的汽水x而言，越多的冰棍y越好，所以越靠上的曲线所代表的效用水平就越高。(2)(3)对于萧峰而言一杯汽水x与两根冰棍y是完全互补的；对于一定量的汽水x（冰棍y）而言，越多的冰棍y（汽水x）越好，所以越靠右上的曲线所代表的效用水平就越高；她效用函数可用)2,min(),(yxyxu=表示。对于李楠而言汽水x与冰棍y是完全替代的；三杯汽水x与两根冰棍y所带来的效用水平是一样的，她的效用曲线拥有负的斜率；对于一定量的汽水x而言，越多的冰棍y越好，所以越靠上的曲线所代表的效用水平就越高；她效用函数可用yxyxu23),(+=表示。X32−=xyYXxy2=Y（瓦里安微观经济学现代观点上海人民出版社p48-53）进一步提问：为什么在（3）中，萧锋的效用函数不可以是)2,min(),(yxyxu=？事实上，这个问题涉及到如何可以快速的得出固定比率的效用（生产）函数（而用道上的“黑话”则被称之为里昂惕夫效用（生产）函数）；1-6-1第一讲偏好、效用与消费者的基本问题让我们首先来看一个例子，而在例子结束时，也就是我们回答此问题结束之际；假设生产单位的产出要固定用用上单位的与单位的，那么此技术的生产函数是怎样的形式？a1a1x2a2x这就如同我们是在拌水泥砂浆，其配合比则是题目所给出的；1a2a1x2xya：：：：1a2a1x2xya当我们想知道他们之间的等式关系时，我们只须经过简单的数学变换：iaaxy::=；iaaxy=而当我们上式，则就可马上得出其关系函数：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2211;aaxaaxMiny当1=a则⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2211;axaxMiny，而当a不指定时，则存在多种表示形式（但它们都无伤大雅），萧锋的效用函数也可写为),2min(),(yxyxu=；21x),max(),(2121xxxxu=21210xx+=2x),min(),(2121xxxxu=为此人的效用函数；这就确定了他的最优的选择必定是落在便宜的商品上，即他会用他的所有积蓄来购买相对便宜的商品。•3)(maxxux=..ts2211xpxpm+=1-6-2第一讲偏好、效用与消费者的基本问题构造拉氏方程：)(50)2(10),(2211222121xpxpmxxxxx−−+−++=λλψ0)(201211=−+=∂∂pxxxλψ0)(202212=−+=∂∂pxxxλψ02211=−−=∂∂xpxpmλψ由上式可知，通过拉氏方程不能解出方程解。21pp21pp21pp=2x1x通过进一步观察，我们可知，当()()5010,22121−+=xxxxu通过单调变化后，此效用函数则为：()2121,xxxxu+=；当21pp时，消费者把全部的收入用来消费2x可达到更高的效用水平。当边际效用替代率为常数时，即效用函数的斜率为负的常数时，才可满足完全替代的定义，由此，我们能断定，两商为相互替代的；图中表示了消费束的集合；（瓦尔特·尼科尔森微观经济理论第六版中国经济出版社p81）●●●●●●ix的需求函数为：=ix⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=jiijijipppmpppppm,~0,0,；)2,1,(=ji4（1）由2121ln21ln21),(xxxxu+=可知：iixxu21=∂∂和021222−=∂∂iixxu可知边际效用递减。（2）只要当022≥∂∂ixu时，就满足题目要求，如等。3231xx+5（1）当1=ρ时，2211)(xxxuαα+=，又知2112αα−=∂∂xx为常数，则效用函数为线性。1-6-3第一讲偏好、效用与消费者的基本问题（2）ρρρρρρρρρααααααρ22112221110221100lnlnlim)ln(1lim)(lnlimxxxxxxxxxu++=+=→→→⎯⎯⎯→⎯=+121αα2211lnlnxxαα+（题目虽然没有给出121=+αα的条件，但只有在此条件下结论才能成立）所以：21210)(limααρxxxu=→（3）ρρρρρραααα1221222111lnlnlim)(lnlimxxxxxxxu++=−∞→−∞→当时：21xx2ln)(lnlimxxu=−∞→ρ当时：21xx1ln)(lnlimxxu=−∞→ρ所以，当−∞→ρ时，该效用函数趋近于),min()(21xxxu=7说句实话，越简单和明显的结论越是难以证明。但以下四个结论在数学上是很明显的。（1）本身包含于本身，即弱偏好与本身的范围一样大；（2）无差异的范围小于弱偏好的范围，即某集合的范围包含其子集；（3）强偏好和无差异的集合等同于弱偏好；（4）强偏好和无差异之间没有交集。6设每汤匙咖啡（coffee）的需求为,每汤匙糖（sugar）的需求为，每杯咖啡的需求为cxsxx。cxsx21=scxx),min(),(scscxxxxu=根据题设，我们可知茜茜的效用函数为)2,min(),(scscxxxxu=；这相当于一杯咖啡的价格为scpp2+，茜茜可以买到的几杯咖啡呢？其咖啡x的杯数量为scppm2+；又知scxxx21==则sccppmx2+=；scsppmx22+=•分别对两需求函数求偏导得：1-6-4第一讲偏好、效用与消费者的基本问题2)2(scccppmpx+−=∂∂；2)2(2scscppmpx+−=∂∂；2)2(sccsppmpx+−=∂∂；2)2(2scssppmpx+−=∂∂当价格变化时，'''2sccppmx+=；'''22scsppmx+=由于咖啡和糖为完全互补，所以任何一价格的上升都会导致咖啡和糖的需求量下降。8（1）完备性是指≤，≥，所以题设中少了＞则不具有完备性；（2）“无差异关系”无差异于“无差异关系”，因为“A～B”～“B～A”;（3）根据以上的思路，“A＞B”与“A＜B”不满足无差异关系，所以不满足反省性；（4）完备性是指消费者能区分任何两个不同的消费计划，但这并不代表任何两个不同的消费计划都具有题中的三种关系，如果存在的话，则否定了完备性。9)(maxxux=..ts2211xpxpm+=构造拉氏方程：)(),(22111xpxpmxx−−+=λλψ0111=−=∂∂pxλψ022=−=∂∂pxλψ02211=−−=∂∂xpxpmλψ由上式可得马歇尔需求函数：11pmx=；02=x10)(maxxux=..ts2211xpxpm+=构造拉氏方程：)(),(2211121xpxpmxAxx−−+=−λλψαα0)(111=−=∂∂pxxuxλαψ（1）1-6-5第一讲偏好、效用与消费者的基本问题0)()1(222=−−=∂∂pxxuxλαψ（2）02211=−−=∂∂xpxpmλψ（3）由)2()1(得:1221)1(pxpxαα−=;2112)1(pxpxαα−=把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：11pmxα=；22)1(pmxα−=11，（1）√（2）√2=′u)0(23=′−vvu（3）×（4）√)0(23−=′−vvu)0(1=′−vvu（5）√（6）)0(=′−vveuv)0(2=′vvu√（7）√（8）)0(2=′vvu)0(2=′vvu×1-6-6第二讲间接效用函数与支出函数第二讲解出反函数m解出反函数u代入),(upem=代入),(mpvu=代入间接效用函数（支出函数）得出目标函数pxxmin)(..xuts)(maxxuxmts..间接效用函数：),(mpv支出函数：),(upe希克斯需求函数：),(uph马歇尔需求函数：),(mpx谢泼特引理：iipeuph∂∂=),(mvpvmpxii∂∂∂∂−=//),(罗尔恒等式：代入目标函数代入目标函数1)(maxxux..ts2211xpxpm+=构造拉氏方程：)(ln),(221121xpxpmxxx−−++=λαλψ0111=−=∂∂pxxλαψ（1）0122=−=∂∂pxλψ（2）02211=−−=∂∂xpxpmλψ（3）由()()21得马歇尔需求函数：121ppxα=;因为为常数，把之代入（3）式得：1x222ppmxα−=2-11-1第二讲间接效用函数与支出函数1x2x21lnxxu+=α2211xpxpm+=121ppxα=效用函数为拟线性曲线21)(xxvu+=可知，其中1x的需求为固定的，也就是说1x的收入份额是一定的，而其余的钱为花在2x上。•••把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：2212lnlnln),(ppmpppmvααααα−+−+=根据罗尔恒等式：mvpvmpxii∂∂∂∂−=//),(会得出同样的马歇尔需求函数：122111/1///),(ppppmvpvmpxαα=−−=∂∂∂∂−=[]222222222/1/)(//),(ppmpppmpmvpvmpxαααα−=−−−−=∂∂∂∂−=2)(maxxux=..ts2211xpxpm+=构造拉氏方程：)(),(2211221xpxpmxxx−−+=λλψ021211=−=∂∂pxxxλψ（1）02212=−=∂∂pxxλψ（2）02211=−−=∂∂xpxpmλψ（3）由)2()1(得:12212pxpx=;21122pxpx=2-11-2第二讲间接效用函数与支出函数把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：1132),(pmmpx=；223),(pmmpx=把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：2213334),(ppmmpv=2211minxpxpx+..ts221)(xxxu=构造拉氏方程：)(),(2212211xxuxpxpx−++=λλψ022111=−=∂∂xxpxλψ（1）02122=−=∂∂xpxλψ（2）0221=−=∂∂xxuλψ（3）由)2()1(得:12212pxpx=;21122pxpx=把上两式分别代入（3）式得希克斯需求函数：311212),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupuph；31222214),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupuph把上所得的希克斯需求函数代入目标函数得支出函数：()31221312213122212311214242),(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=puppuppupppuppupe312143),(2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupmpe也可根据马歇尔需求函数与希克斯需求函数互为倒函数的关系直接得出：⇒=2213334),(ppmmpv⇒=⋅3221343),(mppmpv312143),(2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=pupmpe2-11-3第二讲间接效用函数与支出函数3根据罗尔恒等式：mvpvmpxii∂∂∂∂−=//),(会得出马歇尔需求函数：)(//),(211*ppmmvpvmpxii+=∂∂∂∂−=4)(maxxux=..ts2211xpxpm+=构造拉氏方程：)(),(221121xpxpmxxx−−+=λλψ0121=−=∂∂pxxλψ（1）0212=−=∂∂pxxλψ（2）02211=−−=∂∂xpxpmλψ（3）由)2()1(得:1221pxpx=;2112pxpx=把上两式分别代入（3）式得马歇尔需求函数：112),(pmmpx=；222),(pmmpx=把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：2124),(ppmmpv=把题设条件的三城市的价格代入间接效用函数得：bbbaaappmmpvppmmpv2122124),(4),(===abbabbaacppppppppmmpv212121212),(+++=由条件；又由定理nppppbbaa==212121;0≥+xxx可知，主要是比较分母中的后两项，同时除以得：),(mpvcnppppbbaa==2121abaab