高等数学第六版附录积分证明(同济大学编)

1.∫dxax+b=1a㏑︱ax+b︱+C证明：令t=ax+b则：dt=adx∴aatdt1㏑︱t︱+C=㏑︱ax+b︱+C2.∫(ax+b)μdx=（ax+b）μ+1+C(μ≠0)证明：令t=ax+b则：dt=adx∴CbaxuaCtuadttaadttuuuu1111111(μ≠0)3.∫xax+bdx=1a2(ax+b-b㏑︱ax+b︱)+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴dttbaadtatbt112=21a(221t-b㏑︱t︱)+C=21a(221bax-b㏑︱ax+b︱)+C4.∫x2ax+bdx=1a3［12(ax+b)2-2b(ax+b)+b2㏑︱ax+b｜］+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴3211aadttabt(221t-2bt+b2㏑︱t︱)+C=1a3［12(ax+b)2-2b(ax+b)+b2㏑︱ax+b｜］+C5.∫dxx(ax+b)=-1b㏑｜ax+bx︱+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴原式=bdtbttbbdtbttadttbta111㏑︱btat︱+C=-1b㏑｜ax+bx︱+C6.∫dxx2(ax+b)=-1bx+ab2ab2㏑｜ax+bx︱+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴22111babxdttbtabtadttabt㏑︱xbax︱+C7.∫x(ax+b)2dx=1a2(㏑｜ax+b︱+bax+b)+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴原式=2222111adttbtaadttabt(㏑︱t︱+b)+C=1a2(㏑｜ax+b︱+bax+b)+C8.∫x2(ax+b)2dx=1a3(ax+b-2b㏑｜ax+b︱-b2ax+b)+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴原式=3223221211adttbtbaadttabt(t-tb22b㏑︱t︱)+C=1a3(ax+b-2b㏑｜ax+b︱-b2ax+b)+C9.∫dxx(ax+b)2=1b(ax+b)-1b2㏑｜ax+bx︱+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴原式=2221111bbtdtbttadttabt㏑︱btat︱+C=1b(ax+b)-1b2㏑｜ax+bx︱+C10.baxdx=a323bax+C证明：令t=ax+b则：dt=adx∴原式=Ctaadtt2332a323bax+C11.baxxdx=2152a(3ax-2b)3bax+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴原式=dtbttaadttabt2123212152a(3ax-2b)3bax+C12.baxx2dx=31052a(15a2x2-12abx+8b2)3)bax（+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴原式=dttbbttaadttabt21223253221=31052a(15a2x2-12abx+8b2)3)bax（+C13.baxxdx=232a(ax-2b)bax+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴原式=dttbtaadttabt21=232a(ax-2b)bax+C14.baxx2dx=3152a(3a2x2-4abx+8b2)bax+C证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴原式=Ctbbttaadttabt2212332221=3152a(3a2x2-4abx+8b2)bax+15.baxxdx=16.baxxdx2=-bxbax-baxxdxba2证明：令t=ax+b则：dt=adxx=abt∴原式=dttabtbtdttbtbtaadttabt1112=-bxbax-baxxdxba217.dxxbax=2bax+bbaxxdx证明：dxxbax=2bax+bbaxxdx18.2xbaxdx=-xbax+baxxdxa2证明：原式=dxbaxxxbaxdxbaxxbax12=-xbax+baxxdxa219.22axdx=a1arctanax+C证明：原式=111222axaxdaaaxdx=a1arctanax+C20.nxadx22=12)22(12naxanx+2)1(232ann122naxdx21.22axdx=a21㏑∣axax｜+C证明：原式=dxaxaxadxbxbxbxbxdx112111=a21㏑∣axax｜+C22.baxdx2证明：当：b＞o时，原式=Cxbabxbadxbarctan1112当：b0时，原式=dbxabxabxabxaab21=bxabxaabln2123.abaxxdx212㏑︳ax2+b︳+C证明：令：t=ax2+b则：dt=2axdx∴xdx=adt2∴原式=CbaxaCtaadtt2ln21ln212124.baxdxabaxbaxdxx22225.bbaxxdx21)(2㏑baxx22+C26.baxdxbabxbaxxdx2221)(27.2232)(babaxxdx㏑Cbxxbax2222128.baxdxbbaxbxbaxdx222221)(2)(29.cbxaxdx230.acbxaxxdx212㏑︱ax2+bx+c︱-cbxaxdxab2231.122Caxarshaxdx㏑22axx+C证明：原式=121Caxarshaxadx㏑22axx+C32.Caxaxxadx222322)(证明：令x=atant则dx=asec2tdtx2+a2=a2sec2t∴原式=CaxaxCattadttatdta2222232sinsecsecsec33.Caxxaxdx2222证明：令x=atant则dx=asec2tdtx2+a2=a2sec2t∴原式=CaxCtatdttatdtatata222secsectansecsectan34.Caxxaxdx223221)(证明：令x=atant则dx=asec2tdtx2+a2=a2sec2t∴原式=CaxCatdttattdtatata22231cossectansecsectan35.22)(222222aaxxxadxx㏑22axx+C证明：令x=atant则dx=asec2tdtx2+a2=a2sec2t∴原式=22secsecsectansectansecsectan222222222aaxxtdttttatdttatdtatata㏑22axx+C36.223222)(axxxadxx㏑22axx+C证明：令x=atant则dx=asec2tdtx2+a2=a2sec2t∴原式=222232sectanln(sintansinsectansecsectanaxxCtatattdttdttttdtatata㏑22axx+C37.axaxdx122㏑Cxaax22证明：令x=atant则dx=asec2tdtx2+a2=a2sec2t∴原式=aCttadttadttattatatdta1cotsecln1sin1tansecsectansec2㏑Cxaax2238.Cxaaxaxxdx222222证明：令x=atant则dx=asec2tdtx2+a2=a2sec2t∴原式=CxaaxCtaatadtttatatdttatatdta22222222tansecsintan11tansecsectansec39.2222222aaxxdxax㏑(x+22ax)+C证明：令x=atant则dx=asec2tdtx2+a2=a2sec2t∴原式=22sectanseclntansectansectansectansecsecsecsec2222222322aaxxdtttttttdttttattdadttadttata㏑(x+22ax)+C40.4222232283)52(8)(aaxaxxdxax㏑Caxx22证明：令x=atant则dx=asec2tdtx2+a2=a2sec2t∴原式=42222542383)52(8secsecsecaaxaxxdttatdtata㏑Caxx2241.Caxdxaxx32222)(31证明：令：t=x2+a2则：dt=2xdx∴原式=CaxCtdttdtt32223313121242.82842222222aaxaxxdxaxx㏑Cxax22证明：原式=dxaxaxxdxaxxx322322223131=313322axx4222283)52(8aaxaxx㏑Caxx22=82842222aaxaxx㏑Cxax2243.aaxdxxax2222㏑Cxaax22证明：令：t=x2+a2则：dt=2xdx∴原式=aaxCtttatdtadtttatdtatata2232tan1seclnsectansin1tansecsectansec㏑Cxaax2244.xaxdxxax22222㏑Caxx2245.122Caxarchxxaxdx㏑︱x+22ax︱+C证明：原式=Caxarchaxadt112=㏑︱x+22ax︱+C46.Caxaxaxdx222322)(证明：令x=asect∴x2-a2=a2tan2t∴原式=CaxaxCttadttatdttatta2222223tansec1tansectantansec47.Caxaxxdx2222证明：令：t=x2-a2则：dt=2xdx∴原式=Ctdttdtt2121221Cax2248.Caxaxxdx223221)(证明：令x=asect∴x2-a2=a2tan2t∴原式=CaxCtatdtatdttatata22231tan1csc1tansectansec49.22222222aaxxaxdxx㏑︱x+22ax︱+C证明：令x=asect∴x2-a2=a2tan2t∴原式=22tanln2tansec2sectansectansec22222322aaxxCtaasextattatdtatdttatata㏑︱x+22ax︱+C50.223