函数的极值的定义

一元函数的极值的定义设函数0fxfx，则0fx是函数fx的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。在0x附近有定义，如果对0x附近的所有的点，都有0fxfx，则0fx是函数fx的一个极大值。如果附近所有的点，都有0fxfx，则0fx是函数fx的一个极小值，极大值与极小值统称为极值若函数f在点0x处可导，且0x为f的极值点，则00fx.这就是说可导函数在点取极值的必要条件是00fx.一元函数极值的充分条件定理1（极值的第一充分条件）设f在点0x连续，在某邻域00;Ux内可导.(1）若当00,xxx时00fx，当00,xxx时，则f在点0x取得极小值.（2）若当00,xxx时00fx，当00,xxx时，则f在点0x取得极大值.定理2（极值的第二充分条件）设f在0x的某邻域00;Ux内一阶可导，在0xx处二阶可导，且000,0fxfx.（1）若00fx，则f在0x取得极大值.（2）若00fx，则f在0x取得极小值.定理3（极值的第三充分条件）设f在0x的某个邻域内,存在直到1n阶导函数，在0x处n阶可导，且,则取极大值，00nfx时取极小值;0001,2,,1,0knfxknfx.（1）当n为偶数时，f在0x取得极值，且当00nfx（2）当n为奇数时，f在0x处不取极值.寻找和判别极值的步骤如下：（1）求出fx的导数；（2）找出fx的驻点和导数不存在的点；（3）用这些点把定义域分成若干个小区间，列表考察各个区间分界点两侧导数的符号，判别该点是否极值点，并确定是极大值还是极小值点。（使导数为零的点称为函数的驻点）一元函数最值方法求函数)(xfy在],[ba上的最大值和最小值应注意以下几点：（1）若)(xfy在],[ba上单调增（减）的，则)(af是其最小（大）值，)(bf是其最大（小）值。（2）若)(xfy在),(ba内只有一极值点（唯一驻点）且此极值是极大（小）值，则它也是)(xfy在],[ba上的最大（小）值，常称这些函数为单峰（单谷）函数。（3）若函数在开区间、半开区间或无穷区间内连续，求函数的最值时，需求出区间内函数的全部极值和区间端点处的单侧极限，如果单侧极限最大（小）值，则函数在该区间内无最大（小）值，因而在开区间或无穷区间上连续的函数不一定有最值。（4）除以上三种特别情况外，一般按下述步骤求)(xfy在],[ba上的最值。①求出)('xf并在),(ba内求出其驻点和不可导点（不必判断这些驻点和不可导点是否为极值点，但函数在这些点必有定义）。②计算)(xf在这些点的值，且求出)(af、)(bf。③比较步骤②中所得的函数值，其中最大（小）值就是)(xf在],[ba上的最大（小）值。二元函数极值的充分必要条件定理4（充分条件）设函数),(yxfz在点),(00yx的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又令0),('00yxfx,0),('00yxfy令Ayxfxx),(''00,Byxfxy),(''00,Cyxfyy),(''00,则),(yxf在),(00yx处是否取得极值的条件如下:（1）02BAC时具有极值,且当0A时有极大值,当0A时有极小值;（2）02BAC时没有极值;（3）02BAC时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。定理5（必要条件）设函数),(yxfz在点),(00yx具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即0),('00yxfx，0),('00yxfy。二元函数求极值方法1.1无条件极值的求解（1）利用函数极值的定义求极值（2）利用函数极值存在的充分必要条件求极值，则求),(yxfz的极值的一般步骤为:①解方程组0),('yxfx，0),('yxfy，求得一切实数解，即可求得一切驻点),(),(),,(2211nnyxyxyx；②对于每一个驻点),(iiyx(1,2,)in，求出二阶偏导数的值CBA,,；③确定2BAC的符号，按定理2的结论判定),(iiyxf是否是极值，是极大值还是极小值；④考察函数),(yxf是否有导数不存在的点，若有用定义加以判别是否为极值点。求二元函数最值的方法在有界闭域上的二元连续函数的最大值和最小值只能在区域内的可能极值点（0),('yxfx，0),('yxfy处及),('yxfx，),('yxfy不存在的点）和边界上达到，其中函数最大的为最大值，函数最小的为最小值。求函数),(yxf的最大值和最小值的一般步骤为:（1）根据题意列出函数及条件函数的解析式。（2）求函数),(yxf在D内所有驻点。（3）在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数),(yxf的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数),(yxf在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数),(yxf在D上的最大值（最小值）。（4）将前三步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值,最小者即为最小值。