椭圆专题复习讲义(理附答案)

1椭圆专题复习考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用1.短轴长为5，离心率32e的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为A.3B.6C.12D.24（）[解析]C.长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=122.已知P为椭圆2212516xy上的一点，,MN分别为圆22(3)1xy和圆22(3)4xy上的点，则PMPN的最小值为（）A．5B．7C．13D．15[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，10||||PDPC，PMPN的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.[解析]设椭圆的方程为12222byax或)0(12222baaybx，则222)12(4cbacacb，解之得：24a，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为1163222yx或1321622yx.4.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.[解析]caca23332ca，3b，所求方程为122x+92y=1或92x+122y=1.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）5.在ABC△中，3,2||,300ABCSABA．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率[解析]3sin||||21AACABSABC，32||AC，2cos||||2||||||22AACABACABBC2132322||||||BCACABe26.成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为[解析]由02222mnnmnnmn42nm，椭圆122nymx的离心率为22题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）7.已知实数yx,满足12422yx,求xyx22的最大值与最小值【解题思路】把xyx22看作x的函数[解析]由12422yx得22212xy,2202122xx]2,2[,23)1(212212222xxxxxyx当1x时,xyx22取得最小值23,当2x时,xyx22取得最大值68.如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点则1234567PFPFPFPFPFPFPF________________［解析］由椭圆的对称性知：352536271aFPFPFPFPFPFP．考点3椭圆的最值问题9.椭圆191622yx上的点到直线l:09yx的距离的最小值为___________．[解析]在椭圆上任取一点P,设P(sin3,cos4).那么点P到直线l的距离为：|9)sin(5|2211|12sin3cos4|22.2210.已知点P是椭圆1422yx上的在第一象限内的点，又)0,2(A、)1,0(B，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_________．[解析]设)2,0(),sin,cos2(P，则cos221sin21OBOASSSOPBOPAOAPB2cossin考点4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题311.已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且PBAP3．（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．[解析]（1）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设2222:1(0)yxCabab由条件知1a且bc，又有222abc，解得21,2abc故椭圆C的离心率为22cea，其标准方程为：12122xy（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）y＝kx＋m2x2＋y2＝1得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2∵AP＝3PB∴－x1＝3x2∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0m2＝14时，上式不成立；m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，因λ＝3∴k≠0∴k2＝2－2m24m2－10，∴－1m－12或12m1容易验证k22m2－2成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）基础巩固训练1.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线1AB与BF交于D,且901BDB,则椭圆的离心率为()A213B215C215D23[解析]B.eaccacbab221)(2152.设F1、F2为椭圆42x+y2=1的两焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，21PFPF的值为（）A0B1C2D3[解析]A.1||321PPFFyS，P的纵坐标为33，从而P的坐标为)33,362(，421PFPF0，3.椭圆221369xy的一条弦被(4,2)A平分,那么这条弦所在的直线方程是（）A．20xyB．2100xyC．220xyD．280xy[解析]D.19362121yx,19362222yx,两式相减得：0)(421212121xxyyyyxx，4,82121yyxx，212121xxyy4.在ABC△中，90A，3tan4B．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．[解析]BCACABekBCkACkAB,5,3,4125.已知21,FF为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若3:2:1::211221PFFFPFFPF,则此椭圆的离心率为_________.[解析]13[三角形三边的比是2:3:1]6.在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=．[解析]eaca2222综合提高训练7、已知椭圆)0(12222babyax与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率23e．求椭圆方程[解析]直线l的方程为：121xy由已知2222423baaba①由12112222xybyax得：0)41(2222222baaxaxab∴0))(4(222224baaaba，即2244ba②由①②得：21222ba，故椭圆E方程为121222yx8.已知A、B分别是椭圆12222byax的左右两个焦点，O为坐标原点，点P22,1(）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点.5（1）求椭圆的标准方程；（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求sinsinsinABC的值。[解析]（1）∵点M是线段PB的中点∴OM是△PAB的中位线又ABOM∴ABPA∴2222222211112,1,12cabcababc解得∴椭圆的标准方程为222yx=1（2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点∴AC＋BC＝2a＝22，AB＝2c＝2在△ABC中，由正弦定理，sinsinsinBCACABABC∴sinsinsinABC＝2222BCACABBAC