离散型随机变量及其分布率

§2离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布常见的离散型随机变量及其分布小结2019/11/12若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量.若随机变量X的可能取值充满某个区间，则称X为连续随机变量.如取到的次品个数，收到的呼叫次数等为离散随机变量；而电视机的寿命则为连续随机变量.两类随机变量2019/11/13设离散随机变量X的可能取值为：x1，x2，……，xk，……Xx1x2……xk……Pp1p2……pk……分布律也可用表格形式表示：,1,2,kkPXxpk为X的分布律.称一、离散型随机变量及其分布2019/11/14分布律的基本性质(1)(2),2,1,0kpk(正则性)(非负性)11kkp2019/11/15设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x1,x2,…。为了描述随机变量X，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率。例1从盒中任取3球,记X为取到白球数。则X是一随机变量。X012P0.10.60.3列表法公式法2,1,0,)(35233kCCCkXPkk2019/11/16例2.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮，投中次数X的概率分布。解：X可取0、1、2为值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1X012P0.010.180.812019/11/17练习1：已知X的分布律如下：X1234P1/21/41/8a答案：43}3{)2(81)1(XPa练习2甲、乙、丙三人对同一目标各自独立进行射击,每人射击一次，各人击中目标的概率依次为0.7，0.6，0.5,求目标被击中次数X的分布律.求（1）a;（2）P{X3}.2019/11/18设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为二、常见的离散型随机变量的概率分布1.（0-1）分布Xkp0p11p则称X服从(0-1)分布或两点分布.记为X~b(1,p)2019/11/19实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.随机变量X服从(0-1)分布.,1)(eXX,0,正面当e.反面当eXkp012121其分布律为2019/11/110两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明2019/11/111引例1设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数。我们来求X的概率分布。2.二项分布2019/11/1124,3,2,1,0,)1(}{44kppCkXPkkkX的概率分布是：男女X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.2019/11/113引例2将一枚均匀骰子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数。3,2,1,0,)65()61(}{33kCkXPkkk不难求得，X的概率分布是：2019/11/114掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点”一般地，设在一次试验中只考虑两个互逆的结果，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”。新生儿：“是男孩”，“是女孩”抽验产品：“是正品”，“是次品”再设重复地进行n次独立试验(“重复”是指这次试验中各次试验条件相同)2019/11/115这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型.每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p.注:贝努里概型对试验结果有下述要求：（1）每次试验条件相同；A（3）各次试验相互独立。（2）每次试验只考虑两个互逆结果且P(A)=p，；pAP1)(2019/11/116若X的分布律为：则nkqpCkXPknkkn0,1,2,,}{称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为~(,)Xbnp,其中q＝1－p二项分布1n两点分布二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布.2019/11/117二项分布的图形2019/11/118例1在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,则击中目标的次数X服从b(5,0.6)的二项分布.5)4.0(44.06.015324.06.025234.06.0354.06.045456.0Xkp0123452019/11/119?)20,,1,0(20.20,2.0.1500,一级品的概率是多少只中恰有只元件问只现在从中随机地抽查品率为级已知某一大批产品的一小时的为一级品用寿命超过某种型号电子元件的使按规定kk分析这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理..2020,重伯努利试验只元件相当于做检查试验否为一级品看成是一次把检查一只元件看它是例22019/11/120解,20只元件中一级品的只数记以X~(20,0.2),Xb则因此所求概率为.,,,,).().(}{201080202020kkkXPkk012.0}0{XP058.0}1{XP137.0}2{XP205.0}3{XP218.0}4{XP175.0}5{XP109.0}6{XP055.0}7{XP022.0}8{XP007.0}9{XP002.0}10{XP时当11,001.0}{kkXP2019/11/121图示概率分布2019/11/122.,400,02.0,率试求至少击中两次的概次独立射击设每次射击的命中率为某人进行射击解,X设击中的次数为~(400,0.02).Xb则的分布律为X,)98.0()02.0(400}{400kkkkXP.400,,1,0k因此}1{}0{1}2{XPXPXP399400)98.0)(02.0(400)98.0(1.9972.0例32019/11/1233.泊松分布).(~,.0,,2,1,0,!}{,,2,1,0XXkkekXPk记为泊松分布的服从参数为则称是常数其中值的概率为而取各个的值为设随机变量所有可能取2019/11/124泊松分布的图形2019/11/125泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数X服从泊松分布.2019/11/126地震在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.火山爆发特大洪水2019/11/127电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.2019/11/128二项分布泊松分布n很大,p很小上面我们提到2019/11/129设1000辆车通过,出事故的次数为X,则可利用泊松定理计算,1.00001.01000所求概率为99910009999.00001.0110009999.01.0047.0!11.0!011.01.0ee解}2{XP}1{}0{1}2{XPXPXP~(1000,0.0001),Xb例有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率0.0001,在每天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?2019/11/130二项分布泊松分布1010.p,n两点分布1n三、小结1、离散型随机变量的分布2019/11/131).,(,,)10(),,2,1(,,0,1,,,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为服从二项分布那末分布并且相互独立它们都服从次试验失败若第次试验成功若第设每次试验成功的概率为立重复伯努里试验次独对于分布的推广二项分布是.)10(.2泊松分布之间的关系分布二项分布与、2019/11/132).,,2,1,0(,!)()1(}{,,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk即为参数的泊松分布于以时趋当为参数的二项分布以