《分式的运算》教学设计

《分式的运算》教学设计一、学习目标(一)知识与技能1、类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则；2、结合分式的运算，将指数的讨论从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。(二)过程与方法1、通过类比分数的运算法则，获得分式的运算法则，并利用法则进行运算及解决有关的简单的实际问题；2、经历探索分式的运算法则的过程，并能结合具体情况说明其合理性。(三)情感态度与价值观培养学生的观察、类比、归纳的能力和与同伴合作交流的情感，进一步体会数学知识的实际价值。二、教学重点与难点：本节内容的重点是理解分式法则的意义及法则运用；本节内容的难点是正确运用分式的基本性质进行约分和通分。三、教学思路：在教师的组织和引导下，以学生自主探究、分组合作交流的方式展开教学。课题分式的乘除(一)三维目标知识与技能1、类比分数乘除法的运算法则，探索分式乘除法的运算法则；2、在分式乘除运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和语言表达能力；3、用分式的乘除法解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识。过程与方法在学生积极思考，参与活动的过程中，采用引导、启发、探求的方法，使学生理解掌握分式乘除法的运算法则，并会进行乘除法的运算。情感态度与价值观1、通过师生共同交流、探讨，使学生在掌握知识的基础上，认识事物之间的内在联系，获得成就感。2、培养学生的创新意识和应用数学的意识。教学重点掌握分式乘除法的法则及其应用。知识难点分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。教具准备电脑、课件、投影仪教学环节教学过程一、创设问题情境，引入新课问题1：一个长方体容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的mn时，求高为多少？问题2：大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？(师生行为：教师提出问题，学生思考)二、讲授新课(一)类比分数乘除法法则，归纳分式乘除法法则观察：35×109=3×105×9=3045=2335÷109=35×910=3×95×10=2750想一想：1、这两个算式用到了哪些法则？2、类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？(师生行为：学生分组讨论、归纳，教师引导、说明)归纳：类似分数的乘除法法则，分式的乘除法法则如下：乘法法则分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。上述法则可以用式子表示为ab·cd=a·cb·d,ab÷cd=ab·dc=a·db·c。(二)例题教学例1计算：（1）4x3y·y2x3；(2)ab32c2÷－5a2b24cd.解:（1）4x3y·y2x3=4xy6x3y=23x2.(2)ab32c2÷－5a2b24cd=ab32c2·4cd－5a2b2=－4ab3cd10a2b2c2=－2bd5ac.例2计算：（1）a2－4a+4a2－2a+1·a－1a2－4；(2)149－m2÷1m2－7m.解:（1）a2－4a+4a2－2a+1·a－1a2－4=(a－2)2(a－1)2·a－1(a－2)(a+2)=(a－2)2(a－1)(a－1)2(a－2)(a+2)=a－2(a－1)(a+2)(2)149－m2÷1m2－7m=－1m2－49·(m2－7m)=－m(m－7)(m+7)(m－7)=－mm+7(师生行为：教师展示问题，学生尝试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教师结合学生的具体活动，加以指导；通过分析，学生可以灵活运用运算法则来解题)教师强调注意事项：1、将算式对照乘除法法则进行运算；2、强调运算结果如果不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式或整式。3、当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路。例3“丰收1号”小麦的实验田是边长为a的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的实验田是边长为（a－1）米的正方形，两块实验田的小麦都收获了500千克。（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？(新P15)解：（1）“丰收1号”小麦的实验田面积是(a2－1)米2，单位面积产量是500a2－1千克/米2；“丰收2号”小麦的实验田面积是(a－1)2米2，单位面积产量是500(a－1)2千克/米2.∵0(a－1)2a2－1,∴500a2－1500(a－1)2.“丰收2号”小麦的单位面积产量高.(2)500(a－1)2÷500a2－1=500(a－1)2·a2－1500=(a+1)(a－1)(a－1)2=a+1a－1.“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a+1a－1倍.(师生行为：教师提出问题；学生分组讨论，解答问题，教师参与讨论，并作指导)(三)随堂练习：教科书第16页的练习2、3(可让两名学生板演)(师生行为：学生分组讨论其解法，并找寻规律。教师深入小组，给予适当的帮助和指导，并引导学生注意运算法则的应用。)三、课堂小结与作业1、学生归纳总结本节课的主要内容，交流在探索分式的乘除法法则过程的心得和体会，不断积累数学活动经验。2、布置作业：教科书第27页习题16.21、2题。四、板书设计：分式的乘除(一)1、运用法则乘法法则:分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母;除法法则:分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。用式子表示为：ab·cd=a·cb·dab÷cd=ab·dc=a·db·c(其中a、b、c、d是不为0的整式)2、例题例1例2例33、练习4、小结教学反馈：课题分式的乘除(二)三维目标知识与技能1．能应用分式的乘除法法则进行混合运算；2．了解分式的乘方的意义及其运算法则；过程与方法1．能灵活应用分式的乘除法法则进行分式的乘除混合运算；2．在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力及有条理的表达能力。分析：(1)对照分式乘除法法则；(2)运算结果要化简；(3)分子、分母是多项式，应先分解因式。情感态度与价值观在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。教学重点分式乘方的运算法则及其应用。教学难点分式乘方的运算法则。教具准备电脑、课件、投影仪教学环节教学过程一、复习巩固：1．提问：分式的乘除法法则内容是什么？2．计算：(1)a+2a－2·1a2+2a(2)3xy2÷6y2x(3)2x5x－3÷325x2－9·x5x+3师生行为：学生独立完成，并展示其分式乘方要把分子分母分别成方。例5计算：(1)(－2a2b3c)2；(2)(a2b－cd3)3÷2ad3·(c2a)2.解:(1)(－2a2b3c)2=(－2a2b)2(3c)2=4a4b29c2.(2)(a2b－cd3)3÷2ad3·(c2a)2=a6b3－c3d9÷2ad3·c24a2=a6b3－c3d9·d32a·c24a2=－a3b38cd6.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母分式相加减，，先通分，变为同分母的分式，再加减。上述法则可用式子表示为ac±bc=a±bc,ab±cd=adbd±bcbd=ad±bcbd.例6计算：(1)5x+3yx2－y2－2xx2－y2；(2)12p+3q+12p－3q.解:(1)5x+3yx2－y2－2xx2－y2=5x+3y－2xx2－y2=3x+3yx2－y2=3x－y.(2)12p+3q+12p－3q=2p－3q(2p+3q)(2p－3q)+2p+3q(2p+3q)(2p－3q)=2p－3q+2p+3q(2p+3q)(2p－3q)=4p4p2－9q2.例7在图16.2-2的电路中，已测定CAD支路的电阻是R1欧姆，又知CBD的电阻R2比R1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R与R1、R2满足关系式1R=1R1+1R2，试用含有R1的式子表示总电阻R.解：∵1R=1R1+1R2=1R1+1R1+50=R1+50R1(R1+50)+R1R1(R1+50)=2R1+50R1(R1+50).即1R=2R1+50R1(R1+50).∴R=R1(R1+50)2R1+50=R12+50R12R1+50.例8计算：(ab)2·1a－b－ab÷b4.解：(2ab)2·1a－b－ab÷b4=4a2b2·1a－b－ab·4b=4a2b2(a－b)－4ab2=4a2b2(a－b)－4a(a－b)b2(a－b)=4a2－4a2+4abb2(a－b)=4abb2(a－b).例9计算：(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2·(a2b－2)－3.解：(1)(a－1b2)3=a－3b6=b6a3.(2)a－2b2·(a2b－2)－3=a－2b2·a－6b6=a－8b8=b8a8.例10下列等式是否正确？为什么？(1)am÷an=am·a－n；(2)(ab)n=anb－n.解：(1)∵am÷an=am－n=am+(－n)=am·a－n.∴am÷an=am·a－n.(2)∵(ab)n=anbn=an·1bn=anb－n.∴(ab)n=anb－n.例11纳米是非常小的长度单位，1纳米=10－9米.把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？解：1毫米=10－3米，1纳米=10－9米.(10－3)3÷(10－9)3=10－9÷10－27=1018.1立方毫米的空间可以放1018个1立方纳米的物体.