有关矩形折叠的数学题目

有关矩形折叠的数学问题张景召西峡县基础教育教研室二0一0年元月二十八号有关矩形折叠的数学问题矩形性质独特,折叠起来形特各异,趣味无穷,会产生丰富多彩的几何问题,而这些问题形式新颖、结构独特，往往融入了丰富的数学知识和思想，因此，越来越受到各省中考命题者的青睐。纵观2008年、2009年中考中所出现的有关“矩形的折叠问题”，主要涉及以下几类情况：一、折叠后求角度例1.（2008年甘肃省白银市）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°,则∠AEF=()(A)1100(B)1150(C)1200(D)1300根据矩形的性质AD∥BC,有∠AEF=∠EFD.再由折叠的特征可知:∠BFE=∠EFG=1/2(1800-∠1)=650,所以∠EFC=∠EFG+∠1=650+500=1150由此得∠AEF=1150故选（B）例1.（2008年甘肃省白银市）如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°,则∠AEF=()(A)1100(B)1150(C)1200(D)1300在矩形折叠问题中，往往利用轴对称图形的对称性和平行线的性质作联系找等角来计算相关的度数。二、折叠后求长度例2.(2008年威海市)将矩形纸片ABCD按如图1所示的方式折叠，得到图2所示的菱形AECF.若AB=3,则BC的长为()(A)1(B)2(C)(D)2解析:根据折叠的特征可知:AC=2BC,设BC=X,则AC=2X.在Rt△ABC中由勾股定理得：X2+32=(2x)2解得BC的长为故选（D）点评：在矩形折叠中，求折线等长度时，往往利用轴对称转化为相等的线段，再借助勾股定理构造方程来求解。3cm)13210(cm)1310(三、折叠后求周长例3（2008年兰州市）如图1-4，把长为8cm的矩形按虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形。剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（）（A）（B）（C）22cm（D）18cm解析：从显示的图形中我们不难看出，所剪掉的三角形的一条直角边长为3cm，由题意可知道所剪掉的每个三角形的面积为3cm2，则它的另一直角边为2cm，因此得到的等腰梯形其上底AB=8cm。腰故该等腰三角形的周长为本题选择（A）cmAC132322cm)13210(81322点评：本例题通过剪折纸片作计算，检验学生对有关数学技能的理解和掌握程度，使考生的自主性得以充分发挥。四、折叠后求面积例4（2008年潍坊市）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点，折痕的一端G点在边BC上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，试求△EFG的面积。解析：过点G作GH⊥AD则四边形ABGH是矩形.所以GH=AB=8,AH=BG=10.由图形的折叠可知,△BFG≌△EFG所以,EG=BG=10,∠FEG=∠B=900所以,EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=900因为∠AEF+∠AFE=900所以∠HEG=∠AFE又因为∠EHG=∠A=9005EF8410EF,解得即所以HGAEGFEF所以△EFA∽△GHE2510521EGEF21SEFG故点评:在矩形的折叠中,由角之间的关系产生相似图形,从而通过有关成比例线段来做计算,也是在矩形折叠问题中常见的类型之一.同学们应予以关注.五、折叠后求直线解析式例5（2008年枣庄市）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO，将纸片折后，点B恰好落在x轴上，记为B/，折痕为CE，已知tan∠OB/C=3/4.(1)求点B′的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式。4399,'tanBOOCBOOCCOB因此有解析（1）在Rt△B/OC中，(12,0)B12,BO的坐标为即点解得），的坐标为（），点，的坐标为（所以点解得由勾股定理，得则设由勾股定理，得：，故为折痕，所以处，点轴上的恰好落在点将纸片翻折后90C415E4,aa)-(93a312-15BO-AOBAa,-9EBBEa,AE15OCBOBCOACBBCEBBEEBCCBECEBxB,)2(22222根据题意，得的解析式为设直线b,kxyCE9=b,4=15k+bb=9,K=-1/3.931CExy所在直线的解析式为所以点评：本题设计精致，追求创新意，将几何与函数在矩形的折叠中完美结合，最大特色是知识入口较宽，涉及折叠的对称性、三角函数、勾股定理及一次函数解析式的确定等，这样的命题，切认识水平，体现知识体系的整体性。六、折叠后判断图形形状例6（2008年湖北省十堰市）如图，把一张矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在店E处，BE与AD的交于点F。（1）求证△ABF≌△EDF；（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与边BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由。.BMDFDMDFFBBMDF,BEEDFABF,(1)DMDFBM,BF,:,BMDF(2)EDFABFEFD,AFBEAED,AB,ABCDCEED,CD:(1):是菱形即四边形所以所以知由由由折叠可知说理如下是菱形四边形所以又因为中在矩形由折叠可知解析点评：本题以矩形的折叠为背景，让同学们在操作和实践中观察、探究并解决问题.有利于激发同学们潜在的智慧,让同学们体验创新的快乐,并获得学习的成功感.七、折叠后探究其数量关系例7（2008年江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的B/处，点A落在A/处。（1）求证：B/E=BF；（2）设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a、b、c之间的一种关系，并给予证明。BF.EBE,BFBEF,BFEBBFEEFBAD//BC,,ABCDBFEFEBBF,FB(1):所以所以所以所以中在矩形由题意得解析c.baBEABAEABEcBEc,BFFB1c.bacb(ii)acbaBEABAEABEcBEc,BFEB1EBBEBE.cbacb(i)a;)2(222222222所以中，在）知，有（说理如下：三者存在的关系是、、所以中，在所以）知，有（，则连接说理如下：三者存在关系是、、种情况三者关系不唯一，有两、、cba点评：矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性质来解决问题。由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此，利用轴对称性，可以转化挪威相等三线段、相等的角。2009年有关折叠的中考题选1（北京市）正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使点A落在MN上，落点记为A/，折痕交AD于点E。若M、N分别是AD、BC中点，则A/N=____;若M、N分别是AD、BC边上距DC最近的n（n﹥2,且n为整数)等分点，则A/N=____.(用含n的式子表示）23nn122（吉林省）将一张矩形纸片折叠成如图所示三形状，则∠ABC=___度733（吉林省）将宽为2cm长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是（）cmDcmCcmBcmA2.5.334.332.B4（河北省）如图，等边三角形△ABC的边长为1cm,D、F分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在A/处，且点A/在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为_____cm.35(河南省）动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5。如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ。当点A′在BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上刻移动的最大距离为_____.26（山东省）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置.若∠EFB=65°,则∠AED′=____(A)70°(B)65°(C)50°(D)25°(C)7(山东省）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′。折痕为EF。已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是____2712或8（江苏省）（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABCD（AB﹥AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图1）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片得到△AEF(如图2),小明认为△AEF是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.(2)实践与运用:将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使点A落在BC边上的点F处,折痕为EF(如图3);再沿着过点E的直线折叠,使点D落在BE上的点D处,折痕为EG(如图4);再展平纸片(如图5),求图5中∠α的大小。解析：（1）同一。如图，设AD与EF交于点G。由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。又由折叠知，∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE，所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形。（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以，∠BED=135°,又由折叠知,∠BEG=∠DEG,所以∠DEG=67.5°.从而有∠α=90°－67.5°=22.5°.9（海南省）如图，将矩形ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在C/、D/处，若∠AFE=45°，则∠C/EF=____度.6510（海南省）如图1（上右图），在△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F。（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值。解析（1）略。.714741sin47412241AHa,41x,x)-(2a3axHCACAHACRt3aa-2a)ACABCRtx,-2AHDHCx,AH2a.ABAD2a,2BCABa,BC30CABABCRt9030,60)2(22222222220000aaACAHACHaaaxaHCaCAHCABBAD即解得即中，在（中，在则设，设中，在11（哈尔滨市）如图，梯形ABCD中，AD//BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A/处，若∠A/BC=200，则∠A/BC的度数为（）A.150B.200C.250D.300C的式子表示）用含等于为整数），则若则，若则若中在图类比归纳n____(BNAM(1___;BNAM41CDCE___;BNAM,31CDCE,1nnCDCE2.AB,AMBN,,BNAM:.BNAM21CDCEMN.DCE(CDB,ABCD1,)(13不妨设的长可先求的值为了求得方法指导的值时，求当痕重合），压平后得到折、不与点上一点边落在使点折叠将正方形如图问题解决太原市.nm,(___BNAM,1),1(1BCABMNDCECDBABCD2的式子表示）用含有的值等于则设，痕重合），压平后得到折，（不与点上一点边落在折叠，使点，将矩形纸片如图联系拓展nCDCEmm1)1(22nn)104(52或17951BNAM1122222mnnmn51BNAM)104(52或1791)1(22nn1122222mnnmn