第2讲--传质微分方程

硅酸盐工业热工基础第三章传质原理第2讲传质微分方程学习要点1、质量守恒原理以质量浓度表示流入量-流出量+生成量=累积量2、传质微分方程的导出3、传质微分方程的简化形式以物质的量浓度表示0)u()wD(AAAAAB0RC)uC()yCD(AAMAAAB4、无化学反应的一维稳态分子扩散5、有化学反应的一维稳态分子扩散等摩尔逆扩散单向扩散一、方程的导出设系统中包含A、B两种组分，在其中任取一微元控制体，如图3-2-1所示。通过该控制体的组分A保持质量守恒，即由控制体流出的组分A的净通量+控制体内组分A的质量累积率-控制体内组分A的质量生成率=0，该式称为质量守恒定律。图3-2-1质量守恒微元控制体§3-2传质微分方程E(x,y,z)G(x+dx,y+dy,z+dz)dxdydzzyx流入量-流出量+生成量=累积量或写成(1)组分A从交于E点的三面流入控制体的通量为：dxdymdzdxmdydzmz,Ay,Ax,A(2)组分A从交于G点的三面流出控制体的通量为：dxdy)dzzmm(dzdx)dyymm(dydz)dxxmm(z,Az,Ay,Ay,Ax,Ax,A(3)组分A在控制体内的累积质量速率：dxdydzA(4)当控制体内发生化学反应时，组分A的单位质量生成速率为A[kg/(m2.s)],则控制体内组分A的生成率为：dxdydzAE(x,y,z)G(x+dx,y+dy,z+dz)dxdydzzyx将上述各项代入质量守恒定律，即流出量-流入量+累积量=生成量，得：dxdydzdxdydz)dxdymdzdxmdydzm(AAz,Ay,Ax,Adxdy)dzzmm(dzdx)dyymm(dydz)dxxmm(z,Az,Ay,Ay,Ax,Ax,A整理得：该式称为组分A的质量守恒方程或称组分A的连续性方程。0zmymxmAAz,Ay,Ax,A(3-22)同理可得组分B的质量守恒方程或连续性方程：0zmymxmBBz,By,Bx,B(3-23)将组分A、B的连续性方程写成矢量形式：该式称为二元混合物的连续性方程。0mBBB(3-24)0mAAA(3-25)两式相加，得：0)()()mm(BABABA(3-26)在二元系统中，BABAumm，则式(3-26)可改写为：0)()u(BA(3-27)若采用摩尔单位，组分A、B的连续性方程的矢量形式为：则二元混合物的连续性方程可写成：0RCNBBB(3-28)0RCNAAA(3-29)两式相加，得：0)RR()CC()NN(BABABA(3-30)在二元系统中，CCCuCNNBAMBA，0)RR(C)uC(BAM(3-31)将上式分别代入式(3-24)和(3-28)：可以写成：)NN(yyCDNBAAAABA)mm(wwDmBAAAABA上节式(3-15)MAAABAuCyCDNuwDmAAABA0mAAA0RCNAAA得：0)u()wD(AAAAAB0RC)uC()yCD(AAMAAAB(3-32)(3-33)上式即为描述二元系统质量浓度或物质的量浓度分布的微分方程，简称为传质微分方程。0uuDAAAAA2AB因为(3-34)若混合物浓度C与扩散系数DAB为常数时，传质微分方程可写成：二、方程的简化(1)混合物密度与扩散系数DAB为常数，传质微分方程可写成：在不同的条件下，传质微分方程可做不同的简化。0u上式整理得：AA2ABAADu(3-35)AA2ABAAMRCDCCu0)u()wD(AAAAAB0RC)uC()yCD(AAMAAAB引入全微分运算符号AzAyAxAAuzuyuxDD式(3-35)写成：AA2ABARCDDDCAA2ABADDD式(3-34)写成：(3-36)(3-37)(2)混合物密度(或浓度C)与DAB为常数，系统无化学反应，传质微分方程可写成：A2ABACDDDCA2ABADDD(3-38)(3-39)AA2ABAADu§3-2传质微分方程(3)混合物密度(或浓度C)与DAB为常数，系统无化学反应，且流体的整体平均速度等于零，传质微分方程可简化为：A2ABACDCA2ABAD(3-40)(3-41)上述两式称为斐克第二定律，它表达了不稳定状态下分子扩散的规律。在固体或不流动的流体以及进行等摩尔扩散的二元系统中，整体平均速度可视为零，斐克第二定律可以使用。斐克第二定律适用范围：①固体；②不流动的流体；③进行等摩尔扩散的二元系统。§3-2传质微分方程(4)混合物密度(或浓度C)与DAB为常数，系统无化学反应，且流体的整体平均速度等于零，各组分浓度不随时间而改变的扩散——稳态扩散，传质微分方程可简化为：0CA20A2(3-43)(3-42)它们称为用浓度表示的拉普拉斯方程。0zyx2A22A22A20zCyCxC2A22A22A2三、常用的初始条件和边界条件1、第一类边界条件。它规定了边界面上的浓度值。a、用物质的量浓度表示：CA=CA1;b、用摩尔分数表示：气体yA=yA1，液体xA=xA1；c、用质量浓度表示：A=A1；d、用质量分数表示：wA=wA1；e、当扩散系统为气体时，用分压表示：pA=pA1=yAp。§3-2传质微分方程初始条件：扩散组分在研究的时间范围内于初始时刻的浓度分布，既可以是质量浓度，也可以是物质的量浓度。比较简单的初始条件就是初始浓度为常数：当t=0时，cA=cA0或A=A0。边界条件：扩散组分在边界上的浓度分布，常用的边界条件有三类：3、第三类边界条件。它规定了边界面上介质(作为组分A)与周围流体间的对流传质系数kc和主流体中组分A的浓度CA，此时边界上的摩尔通量可按下式求得：§3-2传质微分方程式中，CA为远离边界面的主流体中组分A的浓度；CA1为紧贴边界面的流体中组分A的浓度；)CC(kNA1Ac1A2、第二类边界条件。它规定了边界面上的质量通量，如jA,z=jA1,z或mA,z=mA1,z。边界上的质量通量按下式定义：0zAABz,1AdzdwDj四、无化学反应的一维稳态分子扩散§3-2传质微分方程1、等摩尔逆扩散概念：两组分作等摩尔逆向扩散，即两组分扩散的摩尔通量大小相等，方向相反：NA,z=-NB,z。实例：二元混合液体进行蒸馏时，如果两组分的汽化潜热相近，则在蒸馏过程中有1摩尔A组分的凝结，就有1摩尔B组分的汽化。)NN(ydzdyCDNz,Bz,AAAABz,A等温等压条件下，二元系统中的摩尔通量NA,z可以表示为：因为NA,z=-NB,z，所以dzdCDdzdyCDNAABAABz,A边界条件为：z=z1,CA=CA1z=z2,CA=CA2(3-44)将式(3-44)积分并代入边界条件得：)CC(zzDN1A2A12ABA采用分压形式，上式可写为：)pp()zz(RTDN1A2A12ABA(3-45)(3-46)式(3-45)和(3-46)称为稳态的等摩尔逆向扩散方程。§3-2传质微分方程因为该扩散过程为一维稳态等摩尔逆向扩散利用上面的边界条件对上式积分得：该式就是稳态扩散过程中组分A的浓度分布方程。2112A1A1AAzzzzCCCC(3-47)式(3-44)还可以求得稳态扩散过程的浓度场。故0dzCd2A21A2A1A211AC)CC(zzzzC解：根据题意，该扩散过程为主管中的氨气通过支管与外界空气进行的等摩尔逆扩散。如图所示，设氨气为组分A，空气为组分B，边界条件为CA1=0.1MPa，CB1=0MPa，CA2=0MPa，CB2=0.1MPa。根据稳态等摩尔逆扩散方程可得例3-3：某合成氨厂为使其系统压力保持在0.1MPa，在该厂输送氨气的主管上另接有一根管径为3mm，长度为20m的支管通入大气。该系统保持在25C，并已知25C时氨气在空气中的分子扩散系数为0.2810-4m2/s。求：(1)每小时损失到大气中的氨气量；(2)每小时混杂到主管中的空气量；(3)当主管中氨气以5kg/h流过时，在主管下游处的质量分数和摩尔分数。主管支管CA1=0.1MPaCB1=0MPaCA2=0MPaCB2=0.1MPa)0101325(2029883141028.0)pp()zz(RTDN41A2A12ABAB)]sm/(kmol[1073.528则每小时损失到大气中的氨气量mA和混杂到主管中的空气量mB分别为：4)003.0(3600171073.54d3600MNm282AAA)h/kg(1048.28(1)4)003.0(3600291073.54d3600MNm282BBB)h/kg(1023.48(2)(3)在主管下游处存在氨气和混杂到主管中的空气，空气的量则为混杂到主管中的空气量，所以，当主管中的氨气流量为5kg/h时，在主管下游处的空气的质量分数和摩尔分数分别为：988BBB105.81023.451023.4m5mw988ABABBB1096.4291023.4175291023.4MmM5Mmy四、无化学反应的一维稳态分子扩散§3-2传质微分方程2、单向扩散概念：在扩散过程中，只有一种组分进行扩散，而无相反方向的扩散，NB=0。实例：空气的增湿、干燥过程。由于水槽细长，可认为水蒸气只在z方向上有扩散，故相对于固定坐标的净摩尔通量可表示为：AJA,zJB,zBPA1PA2PAPB1PB2PB水蒸气向空气中的扩散z,MAAABz,AuCdzdyCDN将水蒸气和空气视为理想气体，则上式可以写成z,MAAABz,AuRTpdzdpRTDN对于空气则有0uRTpdzdpRTDNz,MBBABz,B可求出uM,zdzdppDuBBABz,M因为pA+pB=p=常数，故dzdpdzdpBA所以dzdpppDuAAABz,Mz,MAAABz,AuRTpdzdpRTDN得式(3-48)称为斯蒂芬定律的微分表达式，用于计算单向扩散的摩尔通量，该式实质上为相对于固定坐标的用分压形式表示的斐克定律。代入RTpdzdpppDdzdpRTDNAAAABAABz,Adzdpppp1RTDAAAABdzdppppRTDAAAB(3-48)故对上述微分表达式分离变量并积分，已知边界条件为：1A2A12ABApppplnzzpRTDN(3-49)z=z1，p-pA1=pB1z=z2，p-pA2=pB21B2B12ABpplnzzpRTDBm1B2B12ABpppzzpRTD式中，)ppln(ppp1B2B1B2BBm，是组分B的分压力的对数平均值。由于pB2=p-pA2，pB1=p-pA1)CC(ppzzDpppzzpRTDN2A1ABm12ABBm2A1A12ABA(3-50)式(3-49)和(3-50)称为斯蒂芬定律的积分表达式。利用Bm2A1A12AB